Questão 1 ( 1,0 ponto). Demonstre, via definição, os limites:
.
Passo 1
O enunciado pede demonstrar, via definição ε–δ, que
Isso envolve mostrar que, para todo ε>0, existe δ>0 tal que, se 0<|x
|<δ, então
Passo 2
Começamos por reescrever a diferença entre a função e o limite candidato:
Observe que o numerador fatora como
, logo
Passo 3
Para controlar essa expressão, primeiro impomos uma restrição provisória em
. Seja
Então
, o que implica
Além disso,
Passo 4
Usando essas estimativas, obtemos
Logo, sempre que
, vale
Passo 5
Para garantir que
, basta escolher
. Finalmente, definimos
Então, se
, temos simultaneamente
e
, de modo que
Resposta
Para todo
, escolhendo
temos
, o que prova o limite.