Questão 1 ( 1,0 ponto). Demonstre, via definição, os limites:
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}+1}{x+2}=2.

Passo 1

O enunciado pede demonstrar, via definição ε–δ, que
\lim_{x\to -1}\frac{x^{2}+1}{x+2}=2.
Isso envolve mostrar que, para todo ε>0, existe δ>0 tal que, se 0<|x +1|<δ, então
\left|\frac{x^{2}+1}{x+2}-2\right|<\varepsilon.

Passo 2

Começamos por reescrever a diferença entre a função e o limite candidato:
\left|\frac{x^{2}+1}{x+2}-2\right| =\left|\frac{x^{2}+1-2(x+2)}{x+2}\right| =\left|\frac{x^{2}-2x-3}{x+2}\right|.
Observe que o numerador fatora como x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1), logo
\left|\frac{x^{2}+1}{x+2}-2\right| =\frac{|x-3|\,|x+1|}{|x+2|}.

Passo 3

Para controlar essa expressão, primeiro impomos uma restrição provisória em x. Seja
\delta_{1}=\tfrac12 \quad\text{e suponha}\quad |x+1|<\delta_{1}.
Então x\in(-1-\tfrac12,\,-1+\tfrac12)=(-1{,}5,\,-0{,}5), o que implica
x+2\in(0{,}5,\,1{,}5) \quad\Longrightarrow\quad |x+2|>0{,}5.
Além disso,
|x-3|=|x+1-4|\le|x+1|+4<\tfrac12+4=4{,}5.

Passo 4

Usando essas estimativas, obtemos
\left|\frac{x^{2}+1}{x+2}-2\right| \le\frac{|x-3|\,|x+1|}{|x+2|} <\frac{4{,}5\,|x+1|}{0{,}5}=9\,|x+1|.
Logo, sempre que 0<|x+1|<\delta_{1}, vale
\left|\frac{x^{2}+1}{x+2}-2\right|<9\,|x+1|.

Passo 5

Para garantir que 9\,|x+1|<\varepsilon, basta escolher \delta_{2}=\varepsilon/9. Finalmente, definimos
\delta=\min\bigl\{\delta_{1},\,\delta_{2}\bigr\} =\min\Bigl\{\tfrac12,\;\frac{\varepsilon}{9}\Bigr\}.
Então, se 0<|x+1|<\delta, temos simultaneamente |x+1|<\tfrac12 e |x+1|<\varepsilon/9, de modo que
\left|\frac{x^{2}+1}{x+2}-2\right|<9\,|x+1|<\varepsilon.

Resposta

Para todo \varepsilon>0, escolhendo
\delta=\min\Bigl\{\tfrac12,\;\frac{\varepsilon}{9}\Bigr\},
temos 0<|x+1|<\delta\implies\bigl|\tfrac{x^{2}+1}{x+2}-2\bigr|<\varepsilon, o que prova o limite.

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