Questão 1 ( 1,0 ponto). Demonstre, via definição, os limites:
\lim _{x \rightarrow a} m \sqrt{x}+n=m \sqrt{a}+n, \operatorname{com} m \neq 0 e a \geq 0.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=m\sqrt{x}+n
com m\neq0 e um ponto a\ge0. Queremos provar, pela definição de limite (ε–δ), que
\lim_{x\to a}f(x)=m\sqrt{a}+n.

Passo 2

Começamos calculando a diferença entre f(x) e o valor limite L=m\sqrt{a}+n:
\bigl|f(x)-L\bigr| =\bigl|m\sqrt{x}+n-\bigl(m\sqrt{a}+n\bigr)\bigr| =\bigl|m\bigr|\;\bigl|\sqrt{x}-\sqrt{a}\bigr|.

Passo 3

Para controlar \bigl|\sqrt{x}-\sqrt{a}\bigr|, usamos a conjugada:
\bigl|\sqrt{x}-\sqrt{a}\bigr| =\frac{\bigl|x-a\bigr|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}.
Logo
\bigl|f(x)-L\bigr| =\bigl|m\bigr|\;\frac{\bigl|x-a\bigr|}{\sqrt{x}+\sqrt{a}}.

Passo 4

Caso a>0. Escolhemos primeiro \delta_1=\frac{a}{2}. Se \lvert x-a\rvert<\delta_1, então
x>a-\tfrac{a}{2}=\tfrac{a}{2} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{x}+\sqrt{a}\ge\sqrt{\tfrac{a}{2}}.
Assim
\bigl|f(x)-L\bigr| \le\bigl|m\bigr|\;\frac{\lvert x-a\rvert}{\sqrt{a/2}} =\frac{\lvert m\rvert}{\sqrt{a/2}}\;\lvert x-a\rvert.
Para tornar isso menor que \varepsilon, basta exigir
\lvert x-a\rvert<\delta_2 \quad\text{com}\quad \delta_2=\frac{\varepsilon\,\sqrt{a/2}}{\lvert m\rvert}.
Finalmente, defina \delta=\min(\delta_1,\delta_2). Então, sempre que 0<\lvert x-a\rvert<\delta, obtemos
\bigl|f(x)-L\bigr|<\varepsilon.

Passo 5

Caso a=0. A diferença é
\bigl|f(x)-(m\sqrt{0}+n)\bigr| =\bigl|m\sqrt{x}\bigr| =\lvert m\rvert\,\sqrt{x}.
Queremos \lvert m\rvert\,\sqrt{x}<\varepsilon, isto é \sqrt{x}<\varepsilon/\lvert m\rvert. Basta então escolher
\delta=\Bigl(\frac{\varepsilon}{\lvert m\rvert}\Bigr)^{2}.
Assim, se 0<x<\delta, segue \bigl|f(x)-L\bigr|<\varepsilon.

Resposta

\lim_{x\to a}\bigl(m\sqrt{x}+n\bigr)=m\sqrt{a}+n.

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