Questão 1 ( 1,0 ponto). Demonstre, via definição, os limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}+2}{x^{2}}=1.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, usando a definição de limite no infinito, que
\lim_{x\to+\infty}\frac{x^{2}+2}{x^{2}} = 1.
O conteúdo aqui é a prova \emph{ε–M} para limites quando x\to+\infty.

Passo 2

Relembrando a definição: dizemos que \lim_{x\to+\infty}f(x)=L se, para todo \varepsilon>0, existe M>0 tal que, sempre que x>M, temos
\bigl|f(x)-L\bigr|<\varepsilon.

Passo 3

No nosso caso f(x)=\frac{x^{2}+2}{x^{2}} e L=1. Calculamos
f(x)-1 = \frac{x^{2}+2}{x^{2}} - 1 = \frac{2}{x^{2}},
portanto
\bigl|f(x)-1\bigr| = \frac{2}{x^{2}}.

Passo 4

Queremos garantir \tfrac{2}{x^{2}}<\varepsilon. Isso equivale a
x^{2}>\frac{2}{\varepsilon} \quad\Longleftrightarrow\quad x>\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}.
Logo, basta escolher
M = \sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}.

Passo 5

Demonstração completa: seja \varepsilon>0 dado. Defina M = \sqrt{2/\varepsilon}. Então, para todo x>M, temos
x>\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}} \quad\implies\quad x^{2}>\frac{2}{\varepsilon} \quad\implies\quad \frac{2}{x^{2}}<\varepsilon \quad\implies\quad \bigl|f(x)-1\bigr|<\varepsilon.
Isso prova que \lim_{x\to+\infty}f(x)=1.

Resposta

1

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