Questão 1 ( 1,0 ponto): Determine a matriz jacobiana de
f(x, y, z)=(2 z e^6 x y, 7 y z sin (4 x))
no ponto (6,5,3).

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer a matriz jacobiana de
f(x,y,z)=l(2z,e^6xy,;7yzsin(4x)r)
no ponto (6,5,3).
Conteúdo: derivadas parciais e matriz jacobiana.
O que vamos precisar: lembrar que a jacobiana é a matriz das derivadas parciais e usar regra do produto e cadeia.

Passo 2

Definição da matriz jacobiana para f=(f1,f2) em (x,y,z):
Jf(x,y,z)= partial f1partial x & partial f1partial y & partial f1partial z[6pt] partial f2partial x & partial f2partial y & partial f2partial z
]

Passo 3

Derivadas parciais de f1(x,y,z)=2z,e^6xy:
  • partial f1partial x =2zcdot e^6xycdot(6y) =12,y,z,e^6xy
  • partial f1partial y =2zcdot e^6xycdot(6x) =12,x,z,e^6xy
  • partial f1partial z =2,e^6xy

Passo 4

Derivadas parciais de f2(x,y,z)=7,y,zsin(4x):
  • partial f2partial x =7,y,zcdotcos(4x)cdot4 =28,y,z,cos(4x)
  • partial f2partial y =7,zsin(4x)
  • partial f2partial z =7,ysin(4x)

Passo 5

Avalia em (x,y,z)=(6,5,3):
Para f1:
partial f1partial x=12cdot5cdot3,e^180=180e^180, partial f1partial y=12cdot6cdot3,e^180=216e^180, partial f1partial z=2e^180
Para f2:
partial f2partial x=28cdot5cdot3cos(24)=420cos(24), partial f2partial y=7cdot3sin(24)=21sin(24), partial f2partial z=7cdot5sin(24)=35sin(24)

Resposta

Jf(6,5,3) = 180,e^180 & 216,e^180 & 2,e^180[6pt] 420cos(24) & 21sin(24) & 35sin(24)
]

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