Usando coordenadas polares calcule
integralegral duplaR x y d A,
onde R é a região que está no primeiro quadrante e entre as circunferências x^2+y^2=4 e x^2+y^2=16.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra calcular
integral duplaR x,y,dA
sendo R a região no primeiro quadrante entre as circunferências x^2+y^2=4 (raio 2) e x^2+y^2=16 (raio 4).
Matéria: integral dupla em coordenadas polares.
O que a gente vai usar:
  • A troca x=rcostheta, y=rsintheta.
  • O Jacobiano dA = r,dr,dtheta.
  • Limites: rin[2,4], thetain[0,pi/2].

Passo 2

Vamos reescrever a integral em polares. Como
xy = (rcostheta)(rsintheta)=r^2costhetasintheta
e dA=r,dr,dtheta, o integrando vira
r^2costhetasintheta;times;r ;=;r^3costhetasintheta
Então
integral duplaRx,y,dA =integraltheta=0^pi/2!integralr=2^4r^3costhetasintheta;dr,dtheta

Passo 3

Primeiro a parte em r:
integral2^4r^3,dr =l[tfracr^44r]2^4 =4^44-2^44 =2564-164 =64-4 =60

Passo 4

Agora a parte em theta:
integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta
Usamos a identidade costhetasintheta = tfrac12sin(2theta), então
integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta =tfrac12integral0^pi/2sin(2theta),dtheta =tfrac12l[-tfrac12cos(2theta)r]0^pi/2 =tfrac12cdot1 =tfrac12

Passo 5

Basta multiplicar as duas partes:
60;times;tfrac12 =boxed30

Resposta

30

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