Questão 2(1,0 ponto): Seja f: R^2 R^2 tal que f(4,8)=(13,2), fx(4,8)=(9,7), fx(13,2)=(12,5), fy(4,8)=(3,11) e fy(13,2)=(10,6). Determine partialv f(a) para a=(4,8) e v=(1,14) :
partialv f(a)=square

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que o enunciado pede e o que temos de matéria.
– O exercício dá uma função vetorial
f:R^2toR^2
com pontos e derivadas parciais conhecidas em a=(4,8) (e também em (13,2), mas essas a gente não vai usar).
– Precisamos achar a derivada direcional de f em a na direção vec v=(1,14).
Conteúdo: derivada direcional para funções vetoriais, usando derivadas parciais e Jacobiana.

Passo 2

O que é derivada direcional para f:R^2toR^2?
– Primeiro, a gente monta a Jacobiana de f em a. Ela é a matriz cujas colunas são as derivadas parciais de f:
Df(a)= fx(a) & fy(a)
Aqui cada fx(a) e fy(a) é um vetor em R^2.
– A derivada direcional em vec v=(v1,v2) é simplesmente
partialvec vf(a);=;Df(a),vec v ;=;v1,fx(a);+;v2,fy(a)

Passo 3

Agora aplica a fórmula com os valores de a=(4,8) e vec v=(1,14):
– Das informações temos
fx(4,8)=(9,7), fy(4,8)=(3,11)
– Substituindo
partialvec vf(4,8) =1cdot(9,7);+;14cdot(3,11) =(9,7)+(42,154) =(9+42,;7+154) =(51,161)

Resposta

partialvec vf(a) ;=;(51,161)

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