Questão 3 ( 1,0 ponto): Se a posição de uma partícula no espaço no tempo t é dada por r(t)=(t^2, cos t pi, t+1) e a temperatura no ponto (x, y, z) é dada por T(x, y, z)=3 x+e^z, então a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo, sentida pela partícula no instante t=1 é
(a) nabla T(1) cdot r^prime(1)
(b) (3, e^2, 2) cdot(1, cos pi, 2)
(c) NOA
(d) nabla T(1,-1,2) cdot r^prime(1)
(e) (3, e^2) cdot(1, cos pi)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a posição de uma partícula é
r(t)=l(t^2,;cos(tpi),;t+1r)
e a temperatura no espaço é
T(x,y,z)=3x + e^z
A matéria aqui é regra da cadeia em várias variáveis (derivada direcional via gradiente). Para resolver, a gente vai precisar calcular o gradiente de T, a derivada de r(t) e depois fazer um produto escalar.

Passo 2

Teoria fundamental: se T depende de (x,y,z) e a partícula segue r(t), então a taxa de variação de T vista pela partícula é
ddtTl(r(t)r) ;=; nabla Tl(r(t)r);cdot;r'(t)
Aqui
nabla T(x,y,z) = l(partialxT,;partialyT,;partialzTr),
e r'(t) é a derivada de cada componente de r(t).

Passo 3

Vamos achar as expressões:
  1. Gradiente de T:
partialxT = 3, partialyT = 0, partialzT = e^z Longrightarrow nabla T(x,y,z) = l(3,;0,;e^zr)
  1. Derivada de r(t):
r'(t) = l(2t,;-pisin(tpi),;1r)

Passo 4

No instante t=1, a posição é
r(1) = l(1^2,cospi,1+1r) = (1,-1,2)
Então
nabla T(1,-1,2) = (3,0,e^2), r'(1) = (2,;-pisinpi,;1) = (2,0,1)
O produto escalar fica
3cdot2 ;+;0cdot0 ;+;e^2cdot1 ;=; 6 + e^2
Isso corresponde exatamente à alternativa (d).

Resposta

A alternativa certa é (d).

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