Questão 4 (3,0 pontos): Seja A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 4 \\\\ 0 & 4 & 1 \\\\ 5 & 0 & -6\end{array}\right].
Determine os autovalores de A e bases para seus autoespaços, determinando se A é diagonalizável e apresentando uma justificativa para a sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede para achar os autovalores de
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 4\\\\ 0 & 4 & 1\\\\ 5 & 0 & -6 \end{pmatrix},
em seguida encontrar bases dos respectivos autoespaços e, por fim, decidir se A é diagonalizável. Vamos usar o cálculo do polinômio característico para obter os autovalores e resolver (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0} para encontrar autovetores.

Passo 2

Calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
A-\lambda I = \begin{pmatrix} 2-\lambda & 0 & 4\\\\ 0 & 4-\lambda & 1\\\\ 5 & 0 & -6-\lambda \end{pmatrix}.
Expandindo por cofatores na segunda coluna (pois há zeros):
\det(A-\lambda I) = (4-\lambda)\,\det\begin{pmatrix}2-\lambda & 4\\\ 5 & -6-\lambda\end{pmatrix} = (4-\lambda)\bigl((2-\lambda)(-6-\lambda)-20\bigr).
Calculando o menor:
(2-\lambda)(-6-\lambda)-20 = \lambda^2 +4\lambda -32 = (\lambda+8)(\lambda-4).
Logo
\det(A-\lambda I) = (4-\lambda)(\lambda+8)(\lambda-4) =0,
de onde os autovalores são
\lambda_1=4\quad(\text{multiplicidade algébrica }2), \quad \lambda_2=-8\quad(\text{multiplicidade algébrica }1).éé

Passo 3

Para \lambda=-8\) resolvemos \((A+8I)\mathbf{v}=\mathbf{0}\): \[A+8I = \begin{pmatrix} 10 & 0 & 4\\\\ 0 & 12 & 1\\\\ 5 & 0 & 2 \end{pmatrix},\quad \begin{cases} 10x + 4z = 0,\\\\ 12y + z = 0,\\\\ 5x + 2z = 0. \end{cases}
Da segunda equação z=-12y\]. Substituindo em \(10x+4z=0 10x -48y=0, logo x = \tfrac{48}{10}y = \tfrac{24}{5}y. A terceira é redundante. Tomando y=5 para ficar inteiro, um gerador do autoespaço é
\mathbf{v}_{-8} = (24,\,5,\,-60).
Assim uma base de E_{-8} é \{(24,5,-60)\}.

Passo 4

Para \lambda=4\) resolvemos \((A-4I)\mathbf{v}=\mathbf{0}\): \[A-4I = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 4\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 5 & 0 & -10 \end{pmatrix},\quad \begin{cases} -2x +4z = 0,\\\ z = 0,\\\\ 5x -10z = 0. \end{cases}
Da segunda equação z=0\]. Da primeira \(x=2z=0. O único livre é y. Logo
\mathbf{v}_{4} = (0,1,0)
gera todo o autoespaço. Assim uma base de E_{4} é \{(0,1,0)\}. Note que a dimensão de E_{4} (geométrica) vale 1, embora a multiplicidade algébrica seja 2.

Passo 5

Para ser diagonalizável, a soma das dimensões dos autoespaços deve ser 3. Aqui temos
\dim E_{-8}=1 e \dim E_{4}=1, total 2 < 3. Logo A não é diagonalizável, pois o autovalor \lambda=4 não fornece duas direções independentes.

Resposta

Autovalores:
\lambda=-8\quad(\text{am}=1),\quad \lambda=4\quad(\text{am}=2).
Bases dos autoespaços:
E_{-8} = \text{span}\{(24,5,-60)\},\quad E_{4} = \text{span}\{(0,1,0)\}.
A não é diagonalizável, pois a multiplicidade geométrica de \lambda=4 é 1, menor que sua multiplicidade algébrica 2.

Exercícios relacionados