Questão 4 (3,0 pontos): Seja A=\left[\begin{array}{rrr}2 & 0 & 4 \\\\ 0 & 4 & 1 \\\\ 5 & 0 & -6\end{array}\right].
Determine os autovalores de A e bases para seus autoespaços, determinando se A é diagonalizável e apresentando uma justificativa para a sua resposta.
em seguida encontrar bases dos respectivos autoespaços e, por fim, decidir se A é diagonalizável. Vamos usar o cálculo do polinômio característico para obter os autovalores e resolver (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0} para encontrar autovetores.
Passo 2
Calculamos o polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Da segunda equação z=-12y\]. Substituindo em \(10x+4z=0 dá 10x -48y=0, logo x = \tfrac{48}{10}y = \tfrac{24}{5}y. A terceira é redundante. Tomando y=5 para ficar inteiro, um gerador do autoespaço é
Da segunda equação z=0\]. Da primeira \(x=2z=0. O único livre é y. Logo
\mathbf{v}_{4} = (0,1,0)
gera todo o autoespaço. Assim uma base de E_{4} é \{(0,1,0)\}. Note que a dimensão de E_{4} (geométrica) vale 1, embora a multiplicidade algébrica seja 2.
Passo 5
Para ser diagonalizável, a soma das dimensões dos autoespaços deve ser 3. Aqui temos \dim E_{-8}=1 e \dim E_{4}=1, total 2 < 3. Logo Anão é diagonalizável, pois o autovalor \lambda=4 não fornece duas direções independentes.