Questão 2. ( 0,4 ponto) Encontre o trabalho realizado pelo campo de forças
F(x, y, z)=ln (y+2) i+ln (x+2) j+ln (z+2) k
sobre um partícula cuja trajetória é a curva C dada pela interseção do plano 2 x+3 y+z=4 com a superfície cilíndrica cuja base no plano x y é o quadrado com vértices (1,0),(0,1),(-1,0) e (0,-1), considerando orientação no sentido anti-horário (positiva) quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho W=ointC Fcdot d r com F(x,y,z)=(ln(y+2),ln(x+2),ln(z+2)) e C fechado, interseção do plano 2x+3y+z=4 com o cilindro acima do quadrado |x|+|y|<=1, orientado anti-horário visto de cima. Vamos usar o Teorema de Stokes porque C=partial S para a superfície planar S dada pelo mesmo plano.

Passo 2

Primeiro a gente calcula o rotacional de F. Lembrando que nablatimes F=(Ry-Qz,,Pz-Rx,,Qx-Py), obtemos
nablatimes F=(0,0,tfrac1x+2-tfrac1y+2)

Passo 3

Agora parametrizamos a superfície S por (x,y,z=4-2x-3y). O vetor normal orientado para cima é
d S=( -tfracpartial zpartial x, -tfracpartial zpartial y,1),dx,dy=(2,3,1),dx,dy, pois queremos componente k>0.

Passo 4

Pelo Teorema de Stokes temos
W=integral duplaS(nablatimes F)cdot d S =integral duplaDl(tfrac1x+2-tfrac1y+2r),dx,dy, onde D=(x,y):|x|+|y|<=1.

Passo 5

No domínio D simétrico em x e y,
xrightarrow y
devido à troca de variáveis W=integral duplaDtfrac1x+2,dA-integral duplaDtfrac1y+2,dA=0 . Logo

Resposta

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