Questão 2) (1 ponto) Escreva na forma z=a+b i o número complexo z=\left[2^{\frac{1}{9}}\left(\cos \frac{\pi}{12}+i \operatorname{sen} \frac{\pi}{12}\right)\right]^{36}

Passo 1

O enunciado pede para escrever na forma z=a+bi o número complexo
z = \bigl[2^{\tfrac{1}{9}}\bigl(\cos\tfrac{\pi}{12} + i\sin\tfrac{\pi}{12}\bigr)\bigr]^{36}.
O conteúdo necessário é a forma polar de um número complexo e o Teorema de De Moivre.

Passo 2

Observe que a base está em forma polar, com módulo
r = 2^{\tfrac{1}{9}}
e argumento
\theta = \tfrac{\pi}{12}.

Passo 3

Pelo Teorema de De Moivre, ao elevar à potência 36 temos
z = r^{36}\bigl(\cos(36\theta) + i\sin(36\theta)\bigr).

Passo 4

Calculemos o módulo elevado:
r^{36} = \bigl(2^{\tfrac{1}{9}}\bigr)^{36} = 2^{\tfrac{36}{9}} = 2^4 = 16.
E o novo argumento:
36\theta = 36\cdot\tfrac{\pi}{12} = 3\pi.

Passo 5

Agora substituímos em forma trigonométrica:
z = 16\bigl(\cos(3\pi) + i\sin(3\pi)\bigr) = 16\bigl(-1 + i\cdot0\bigr) = -16.
Na forma a+bi, isso equivale a a=-16 e b=0.

Resposta

z = -16 + 0\,i.

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