Questão 3) (2 pontos) Dados os números complexos z=6\left(\cos \frac{5 \pi}{6}+i \operatorname{sen} \frac{5 \pi}{6}\right) \mathrm{e} w=3\left(\cos \frac{\pi}{4}+i \operatorname{sen} \frac{\pi}{4}\right), calcule z \cdot w, w^{2}, \frac{z}{w} \mathrm{e} \frac{w}{z}.

Passo 1

O enunciado dá dois números complexos em forma trigonométrica z = 6\bigl(\cos\frac{5\pi}{6} + i\sin\frac{5\pi}{6}\bigr) e w = 3\bigl(\cos\frac{\pi}{4} + i\sin\frac{\pi}{4}\bigr).
O conteúdo aqui é multiplicação, potência e divisão de complexos na forma trigonométrica, usando as fórmulas:
– Produto: \,r_1e^{i\theta_1}\cdot r_2e^{i\theta_2}=r_1r_2e^{i(\theta_1+\theta_2)}.
– Potência (De Moivre): \,(re^{i\theta})^n=r^n e^{i n\theta}.
– Quociente: \,\frac{r_1e^{i\theta_1}}{r_2e^{i\theta_2}}=\frac{r_1}{r_2}e^{i(\theta_1-\theta_2)}.

Passo 2

Calcular z\cdot w.
O módulo é 6\cdot3=18.
O argumento é
\frac{5\pi}{6}+\frac{\pi}{4} =\frac{10\pi}{12}+\frac{3\pi}{12} =\frac{13\pi}{12}.
Logo,
z\cdot w =18\Bigl(\cos\frac{13\pi}{12}+i\sin\frac{13\pi}{12}\Bigr).

Passo 3

Calcular w^2.
O módulo é 3^2=9.
O argumento é 2\cdot\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}.
Portanto,
w^2 =9\Bigl(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\Bigr) =9\bigl(0+i\cdot1\bigr) =9i.

Passo 4

Calcular \frac{z}{w}.
O módulo é \frac{6}{3}=2.
O argumento é
\frac{5\pi}{6}-\frac{\pi}{4} =\frac{10\pi}{12}-\frac{3\pi}{12} =\frac{7\pi}{12}.
Logo,
\frac{z}{w} =2\Bigl(\cos\frac{7\pi}{12}+i\sin\frac{7\pi}{12}\Bigr).

Passo 5

Calcular \frac{w}{z}.
O módulo é \frac{3}{6}=\tfrac12.
O argumento é
\frac{\pi}{4}-\frac{5\pi}{6} =\frac{3\pi}{12}-\frac{10\pi}{12} =-\frac{7\pi}{12}.
Assim,
\frac{w}{z} =\frac12\Bigl(\cos\bigl(-\tfrac{7\pi}{12}\bigr)+i\sin\bigl(-\tfrac{7\pi}{12}\bigr)\Bigr).

Resposta

z\cdot w = 18\bigl(\cos\frac{13\pi}{12}+i\sin\frac{13\pi}{12}\bigr). w^{2} = 9\bigl(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\bigr)=9i. \displaystyle \frac{z}{w} = 2\bigl(\cos\frac{7\pi}{12}+i\sin\frac{7\pi}{12}\bigr). \displaystyle \frac{w}{z} = \frac12\bigl(\cos\bigl(-\tfrac{7\pi}{12}\bigr)+i\sin\bigl(-\tfrac{7\pi}{12}\bigr)\bigr).

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