Questāo 3 (2 pontos)
Um tanque, com capacidade para 200 litros, inicialmente contém 100 litros de uma solução salina com 5 kg de sal dissolvidos. Uma solução contendo 2 \mathrm{~kg} / \mathrm{de} sal por litro entra no tanque a uma taxa constante de 4 \mathrm{~L} / \mathrm{min}, enquanto a mistura no tanque é bem agitada eé retirada a uma taxa de 1 \mathrm{~L} / \mathrm{min}.
a) Modele a situação por uma equação diferencial que descreva a variação da quantidade de sal no tanque ao longo do tempo.
b) Determine a quantidade de sal no tanque no instante em que ele atinge sua capacidade máxima.
Passo 1
O problema trata de uma mistura salina em um tanque que começa com 100 L e 5 kg de sal. Entra solução com concentração 2 kg/L a 4 L/min e sai mistura bem agitada a 1 L/min. O conteúdo é EDO de mistura, onde vamos usar:
– A(t) = quantidade de sal (kg) no tempo t.
– V(t) = volume da solução (L) no tempo t.
Precisamos (a) modelar a EDO para A(t) e (b) achar A(t) quando V(t)=200 L.
Passo 2
Calculamos primeiro o volume V(t). Como entra a 4 L/min e sai a 1 L/min, o volume cresce a 3 L/min a partir de 100 L:
V(t)=100+(4-1)t=100+3t.
A concentração da solução que sai é \tfrac{A(t)}{V(t)} (kg/L). A taxa de entrada de sal é