Questão 5: (1 ponto)
Identifique cada afirmaçāo como Verdadeira ou Falsa fornecendo a justificativa para cada caso.
(a) Ao calcular uma integral definida usando a Regra da Substituição, é obrigatório retornar à variável original antes de aplicar os limites de integração.
(b) O volume de um sólido pode ser calculado integrando-se a área de suas seções transversais, mesmo que essa área varie ao longo de um eixo.
(c)
, onde
é qualquer primitiva de
.
(d) A integração por partes é uma técnica de integração que deriva diretamente da Regra do Quociente para derivação.
(e) O método da arruela é apropriado para calcular o volume de sólidos de revolução maciços (que não possuem um furo central).
Identifique cada afirmaçāo como Verdadeira ou Falsa fornecendo a justificativa para cada caso.
(a) Ao calcular uma integral definida usando a Regra da Substituição, é obrigatório retornar à variável original antes de aplicar os limites de integração.
(b) O volume de um sólido pode ser calculado integrando-se a área de suas seções transversais, mesmo que essa área varie ao longo de um eixo.
(c)
(d) A integração por partes é uma técnica de integração que deriva diretamente da Regra do Quociente para derivação.
(e) O método da arruela é apropriado para calcular o volume de sólidos de revolução maciços (que não possuem um furo central).
Passo 1
O enunciado traz cinco afirmações sobre técnicas de integração e cálculo de volumes: (a) uso da Regra da Substituição em integrais definidas, (b) volume por seções transversais, (c) Teorema Fundamental do Cálculo, (d) origem da integração por partes e (e) método da arruela. Vamos analisar cada uma delas aplicando os conceitos de cálculo integral e geometria de sólidos.
Passo 2
Afirmação (a): “Ao calcular uma integral definida usando a Regra da Substituição, é obrigatório retornar à variável original antes de aplicar os limites de integração.”
Aqui a teoria diz que, se fazemos , podemos mudar os limites de
para limites em
e avaliar diretamente em
. Não há necessidade de voltar a
. Logo, a afirmação é falsa.
Aqui a teoria diz que, se fazemos
Passo 3
Afirmação (b): “O volume de um sólido pode ser calculado integrando-se a área de suas seções transversais, mesmo que essa área varie ao longo de um eixo.”
Essa é exatamente a ideia do método de seções (slicing): se é a área da seção perpendicular ao eixo
, então
Essa é exatamente a ideia do método de seções (slicing): se
Portanto, a afirmação é verdadeira.
Passo 4
Afirmação (c): “
, onde
é qualquer primitiva de
.”
Isso é o enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2). Se , então realmente
Isso é o enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2). Se
Logo, a afirmação é verdadeira.
Passo 5
Afirmação (d): “A integração por partes é uma técnica de integração que deriva diretamente da Regra do Quociente para derivação.”
Na verdade, integração por partes vem da Regra do Produto: . A Regra do Quociente não gera essa fórmula. Portanto, a afirmação é falsa.
Na verdade, integração por partes vem da Regra do Produto:
Passo 6
Afirmação (e): “O método da arruela é apropriado para calcular o volume de sólidos de revolução maciços (que não possuem um furo central).”
O método da arruela usa
O método da arruela usa
Se o sólido não tem furo, basta usar
e obtemos o método dos discos. Assim, é perfeitamente aplicável a sólidos maciços. A afirmação é verdadeira.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.
(e) Verdadeira.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.
(e) Verdadeira.