Questão 5: (1 ponto)
Identifique cada afirmaçāo como Verdadeira ou Falsa fornecendo a justificativa para cada caso.
(a) Ao calcular uma integral definida usando a Regra da Substituição, é obrigatório retornar à variável original antes de aplicar os limites de integração.
(b) O volume de um sólido pode ser calculado integrando-se a área de suas seções transversais, mesmo que essa área varie ao longo de um eixo.
(c) \int_{a}^{b} F^{\prime}(x) d x=F(b)-F(a), onde F é qualquer primitiva de f.
(d) A integração por partes é uma técnica de integração que deriva diretamente da Regra do Quociente para derivação.
(e) O método da arruela é apropriado para calcular o volume de sólidos de revolução maciços (que não possuem um furo central).

Passo 1

O enunciado traz cinco afirmações sobre técnicas de integração e cálculo de volumes: (a) uso da Regra da Substituição em integrais definidas, (b) volume por seções transversais, (c) Teorema Fundamental do Cálculo, (d) origem da integração por partes e (e) método da arruela. Vamos analisar cada uma delas aplicando os conceitos de cálculo integral e geometria de sólidos.

Passo 2

Afirmação (a): “Ao calcular uma integral definida usando a Regra da Substituição, é obrigatório retornar à variável original antes de aplicar os limites de integração.”
Aqui a teoria diz que, se fazemos u = g(x), podemos mudar os limites de x para limites em u e avaliar diretamente em u. Não há necessidade de voltar a x. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

Afirmação (b): “O volume de um sólido pode ser calculado integrando-se a área de suas seções transversais, mesmo que essa área varie ao longo de um eixo.”
Essa é exatamente a ideia do método de seções (slicing): se A(x) é a área da seção perpendicular ao eixo x, então
V = \int_a^b A(x)\,dx.
Portanto, a afirmação é verdadeira.

Passo 4

Afirmação (c): “ \displaystyle \int_{a}^{b}F'(x)\,dx = F(b)-F(a), onde F é qualquer primitiva de f.”
Isso é o enunciado do Teorema Fundamental do Cálculo (parte 2). Se F'\!=f, então realmente
\int_{a}^{b}F'(x)\,dx = F(b)-F(a).
Logo, a afirmação é verdadeira.

Passo 5

Afirmação (d): “A integração por partes é uma técnica de integração que deriva diretamente da Regra do Quociente para derivação.”
Na verdade, integração por partes vem da Regra do Produto: (uv)' = u'v + uv'. A Regra do Quociente não gera essa fórmula. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 6

Afirmação (e): “O método da arruela é apropriado para calcular o volume de sólidos de revolução maciços (que não possuem um furo central).”
O método da arruela usa
V = \int \pi\bigl(R^2 - r^2\bigr)\,dx.
Se o sólido não tem furo, basta usar r=0 e obtemos o método dos discos. Assim, é perfeitamente aplicável a sólidos maciços. A afirmação é verdadeira.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Verdadeira.
(c) Verdadeira.
(d) Falsa.
(e) Verdadeira.

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