1^{\underline{0}} Questão (0,8 PONTO): Resolver o sistema de equações utilizando a técnica eliminação de Gauss, admitindo 4 casas decimais nos resultados.
\left\{\begin{array}{l} 3 x_{1}^{(k)}+7 x_{2}^{(k)}+2 x_{3}^{(k)}+8 x_{4}^{(k)}=0,7 \\\\ -9 x_{1}^{(k)}-12 x_{2}^{(k)}+2 x_{3}^{(k)}+x_{4}^{(k)}=0,11 ; S_{x}^{(0)}=\left(x_{1}^{(0)}=0,5 x_{2}^{(0)}=2,0 x_{3}^{(0)}=0,9 x_{4}^{(0)}=1,2\right)^{t} \\\\ 6 x_{1}^{(k)}+4 x_{2}^{(k)}-5 x_{3}^{(k)}-8 x_{4}^{(k)}=0,14 \\\\ 5 x_{1}^{(k)}+6 x_{2}^{(k)}+7 x_{3}^{(k)}+18 x_{4}^{(k)}=0,12 \end{array}\right.
A.1.) Mostrar a metodologia de eliminação de Gauss.
A.2.) Fazer 6 soluções S_{x}^{(1)}, \ldots, S_{x}^{(6)}.

Passo 1

O enunciado nos dá o seguinte sistema linear (os números decimais usam vírgula):
\begin{cases} 3x_{1}^{(k)}+7x_{2}^{(k)}+2x_{3}^{(k)}+8x_{4}^{(k)}=0{,}7,\\[4pt] -9x_{1}^{(k)}-12x_{2}^{(k)}+2x_{3}^{(k)}+x_{4}^{(k)}=0{,}11,\\[4pt] 6x_{1}^{(k)}+4x_{2}^{(k)}-5x_{3}^{(k)}-8x_{4}^{(k)}=0{,}14,\\[4pt] 5x_{1}^{(k)}+6x_{2}^{(k)}+7x_{3}^{(k)}+18x_{4}^{(k)}=0{,}12, \end{cases}
e o palpite inicial
S_{x}^{(0)}=\bigl(x_{1}^{(0)}=0{,}5,\;x_{2}^{(0)}=2{,}0,\;x_{3}^{(0)}=0{,}9,\;x_{4}^{(0)}=1{,}2\bigr)^{t}.
O que o enunciado pede:
A.1) Mostrar a metodologia da técnica pedida (remoção/iteração indicada no enunciado).
A.2) Calcular seis soluções iteradas S_{x}^{(1)},\dots,S_{x}^{(6)}.
Observação importante (não pede decisão, apenas informação): o enunciado menciona “eliminação de Gauss” mas também apresenta notação x_i^{(k)} e um palpite inicial S_x^{(0)}. Isso indica um procedimento iterativo (sequência de soluções), não a eliminação direta pura. Vou explicar e aplicar a técnica iterativa adequada ao contexto e justificarei a escolha no passo seguinte.]

Passo 2

Escolha do método e justificativa (por que usar Gauss–Seidel):
  • Há duas técnicas que começam por “Gauss”: (i) eliminação de Gauss (método direto para resolver o sistema de uma vez) e (ii) método iterativo de Gauss–Seidel. Como o enunciado pede explicitamente seis vetores S_x^{(1)},\dots,S_x^{(6)} e fornece um palpite inicial S_x^{(0)}, isso é típico de um método iterativo — portanto vou usar o método de Gauss–Seidel.
  • Breve motivo técnico: Gauss–Seidel atualiza cada componente usando os valores mais recentes disponíveis (o que costuma acelerar a convergência em relação ao método de Jacobi).
  • Aviso didático: para garantir convergência é desejável que a matriz do sistema seja estritamente diagonalmente dominante ou simétrica definida positiva; aqui a matriz não é estritamente diagonalmente dominante, então a iteração pode divergir — vamos ver isso nos números. Mesmo assim aplicamos o método porque o enunciado pede as iterações.
Nota sobre arredondamento: o enunciado pede “admitindo 4 casas decimais nos resultados”. Vou arredondar cada componente calculada para 4 casas decimais imediatamente após cada atualização e usar esse valor arredondado nas atualizações subsequentes (procedimento comum em exercícios práticos).

Passo 3

Formulação das equações de iteração Gauss–Seidel (isolando cada incógnita):
Partindo das equações originais, isolamos x_1,x_2,x_3,x_4 em forma de iteração:
Da primeira equação:
3x_1 = 0{,}7 - 7x_2 - 2x_3 - 8x_4 \qquad\Rightarrow\qquad x_1 = \frac{0{,}7 - 7x_2 - 2x_3 - 8x_4}{3}.
Da segunda equação:
-12x_2 = 0{,}11 + 9x_1 - 2x_3 - x_4 \qquad\Rightarrow\qquad x_2 = \frac{-0{,}11 - 9x_1 + 2x_3 + x_4}{12}.
Da terceira equação:
-5x_3 = 0{,}14 - 6x_1 - 4x_2 + 8x_4 \qquad\Rightarrow\qquad x_3 = \frac{-0{,}14 + 6x_1 + 4x_2 - 8x_4}{5}.
Da quarta equação:
18x_4 = 0{,}12 - 5x_1 - 6x_2 - 7x_3 \qquad\Rightarrow\qquad x_4 = \frac{0{,}12 - 5x_1 - 6x_2 - 7x_3}{18}.
Regra prática de Gauss–Seidel usada: para calcular x_i^{(k)} usa-se os valores já atualizados x_1^{(k)},x_2^{(k)},\dots,x_{i-1}^{(k)} e os valores antigos x_{i+1}^{(k-1)},\dots. E após calcular cada x_i^{(k)} arredondamos para 4 casas decimais e usamos esse valor nas fórmulas seguintes da mesma iteração.
Agora aplicamos as iterações passo a passo, mostrando as contas com os valores arredondados a 4 casas decimais após cada atualização.

Passo 4

Iteração 1 (usar S_x^{(0)}=(0{,}5,\;2{,}0,\;0{,}9,\;1{,}2)^t):
  • Calcular x_1^{(1)}:
x_1^{(1)}=\frac{0{,}7-7\cdot 2{,}0-2\cdot 0{,}9-8\cdot 1{,}2}{3} =\frac{0{,}7-14-1{,}8-9{,}6}{3}=\frac{-24{,}7}{3}=-8{,}233333\ldots
Arredondando a 4 casas: x_1^{(1)}=-8{,}2333.
  • Calcular x_2^{(1)} usando x_1^{(1)}=-8{,}2333 e os antigos x_3^{(0)}=0{,}9,\;x_4^{(0)}=1{,}2:
x_2^{(1)}=\frac{-0{,}11-9(-8{,}2333)+2(0{,}9)+1{,}2}{12} =\frac{-0{,}11+74{,}0997+1{,}8+1{,}2}{12}= \frac{76{,}9897}{12}=6{,}415808\ldots
Arredondando: x_2^{(1)}=6{,}4158.
  • Calcular x_3^{(1)} usando x_1^{(1)},x_2^{(1)} e x_4^{(0)}:
x_3^{(1)}=\frac{-0{,}14+6(-8{,}2333)+4(6{,}4158)-8(1{,}2)}{5} =\frac{-0{,}14-49{,}3998+25{,}6632-9{,}6}{5}=\frac{-33{,}4766}{5}=-6{,}69532\ldots
Arredondando: x_3^{(1)}=-6{,}6953.
  • Calcular x_4^{(1)} usando x_1^{(1)},x_2^{(1)},x_3^{(1)}:
x_4^{(1)}=\frac{0{,}12-5(-8{,}2333)-6(6{,}4158)-7(-6{,}6953)}{18} =\frac{49{,}6588}{18}=2{,}759933\ldots
Arredondando: x_4^{(1)}=2{,}7599.
Portanto
S_{x}^{(1)}=\bigl(-8{,}2333,\;6{,}4158,\;-6{,}6953,\;2{,}7599\bigr)^{t}.

Passo 5

Iteração 2 (usar S_x^{(1)} arredondado):
  • x_1^{(2)}:
x_1^{(2)}=\frac{0{,}7-7(6{,}4158)-2(-6{,}6953)-8(2{,}7599)}{3} =\frac{-52{,}8992}{3}=-17{,}633066\ldots
Arredondado: x_1^{(2)}=-17{,}6331.
  • x_2^{(2)}:
x_2^{(2)}=\frac{-0{,}11-9(-17{,}6331)+2(-6{,}6953)+2{,}7599}{12} =\frac{147{,}9572}{12}=12{,}329766\ldots
Arredondado: x_2^{(2)}=12{,}3298.
  • x_3^{(2)}:
x_3^{(2)}=\frac{-0{,}14+6(-17{,}6331)+4(12{,}3298)-8(2{,}7599)}{5} =\frac{-78{,}6986}{5}=-15{,}73972\ldots
Arredondado: x_3^{(2)}=-15{,}7397.
  • x_4^{(2)}:
x_4^{(2)}=\frac{0{,}12-5(-17{,}6331)-6(12{,}3298)-7(-15{,}7397)}{18} =\frac{124{,}4846}{18}=6{,}915811\ldots
Arredondado: x_4^{(2)}=6{,}9158.
Logo
S_{x}^{(2)}=\bigl(-17{,}6331,\;12{,}3298,\;-15{,}7397,\;6{,}9158\bigr)^{t}.

Passo 6

Iteração 3:
  • x_1^{(3)}:
x_1^{(3)}=\frac{0{,}7-7(12{,}3298)-2(-15{,}7397)-8(6{,}9158)}{3} =\frac{-109{,}4556}{3}=-36{,}4852.
  • x_2^{(3)}:
x_2^{(3)}=\frac{-0{,}11-9(-36{,}4852)+2(-15{,}7397)+6{,}9158}{12} =\frac{303{,}6932}{12}=25{,}307766\ldots \Rightarrow x_2^{(3)}=25{,}3078.
  • x_3^{(3)}:
x_3^{(3)}=\frac{-0{,}14+6(-36{,}4852)+4(25{,}3078)-8(6{,}9158)}{5} =\frac{-173{,}1464}{5}=-34{,}62928\ldots \Rightarrow x_3^{(3)}=-34{,}6293.
  • x_4^{(3)}:
x_4^{(3)}=\frac{0{,}12-5(-36{,}4852)-6(25{,}3078)-7(-34{,}6293)}{18} =\frac{273{,}1043}{18}=15{,}172461\ldots \Rightarrow x_4^{(3)}=15{,}1725.
Assim
S_{x}^{(3)}=\bigl(-36{,}4852,\;25{,}3078,\;-34{,}6293,\;15{,}1725\bigr)^{t}.

Passo 7

Iteração 4:
  • x_1^{(4)}:
x_1^{(4)}=\frac{0{,}7-7(25{,}3078)-2(-34{,}6293)-8(15{,}1725)}{3} =\frac{-228{,}576}{3}=-76{,}1920.
  • x_2^{(4)}:
x_2^{(4)}=\frac{-0{,}11-9(-76{,}1920)+2(-34{,}6293)+15{,}1725}{12} =\frac{631{,}5319}{12}=52{,}627658\ldots \Rightarrow x_2^{(4)}=52{,}6277.
  • x_3^{(4)}:
x_3^{(4)}=\frac{-0{,}14+6(-76{,}1920)+4(52{,}6277)-8(15{,}1725)}{5} =\frac{-368{,}1612}{5}=-73{,}63224\ldots \Rightarrow x_3^{(4)}=-73{,}6322.
  • x_4^{(4)}:
x_4^{(4)}=\frac{0{,}12-5(-76{,}1920)-6(52{,}6277)-7(-73{,}6322)}{18} =\frac{580{,}7392}{18}=32{,}263288\ldots \Rightarrow x_4^{(4)}=32{,}2633.
Portanto
S_{x}^{(4)}=\bigl(-76{,}1920,\;52{,}6277,\;-73{,}6322,\;32{,}2633\bigr)^{t}.

Passo 8

Iteração 5:
  • x_1^{(5)}:
x_1^{(5)}=\frac{0{,}7-7(52{,}6277)-2(-73{,}6322)-8(32{,}2633)}{3} =\frac{-478{,}5359}{3}=-159{,}511966\ldots \Rightarrow x_1^{(5)}=-159{,}5120.
  • x_2^{(5)}:
x_2^{(5)}=\frac{-0{,}11-9(-159{,}5120)+2(-73{,}6322)+32{,}2633}{12} =\frac{1320{,}4969}{12}=110{,}041408\ldots \Rightarrow x_2^{(5)}=110{,}0414.
  • x_3^{(5)}:
x_3^{(5)}=\frac{-0{,}14+6(-159{,}5120)+4(110{,}0414)-8(32{,}2633)}{5} =\frac{-775{,}1528}{5}=-155{,}03056\ldots \Rightarrow x_3^{(5)}=-155{,}0306.
  • x_4^{(5)}:
x_4^{(5)}=\frac{0{,}12-5(-159{,}5120)-6(110{,}0414)-7(-155{,}0306)}{18} =\frac{1222{,}6458}{18}=67{,}925877\ldots \Rightarrow x_4^{(5)}=67{,}9259.
Assim
S_{x}^{(5)}=\bigl(-159{,}5120,\;110{,}0414,\;-155{,}0306,\;67{,}9259\bigr)^{t}.

Passo 9

Iteração 6:
  • x_1^{(6)}:
x_1^{(6)}=\frac{0{,}7-7(110{,}0414)-2(-155{,}0306)-8(67{,}9259)}{3} =\frac{-1002{,}9358}{3}=-334{,}311933\ldots \Rightarrow x_1^{(6)}=-334{,}3119.
  • x_2^{(6)}:
x_2^{(6)}=\frac{-0{,}11-9(-334{,}3119)+2(-155{,}0306)+67{,}9259}{12} =\frac{2766{,}5618}{12}=230{,}546816\ldots \Rightarrow x_2^{(6)}=230{,}5468.
  • x_3^{(6)}:
x_3^{(6)}=\frac{-0{,}14+6(-334{,}3119)+4(230{,}5468)-8(67{,}9259)}{5} =\frac{-1627{,}2314}{5}=-325{,}44628\ldots \Rightarrow x_3^{(6)}=-325{,}4463.
  • x_4^{(6)}:
x_4^{(6)}=\frac{0{,}12-5(-334{,}3119)-6(230{,}5468)-7(-325{,}4463)}{18} =\frac{2566{,}5228}{18}=142{,}5846\ldots \Rightarrow x_4^{(6)}=142{,}5846.
Então
S_{x}^{(6)}=\bigl(-334{,}3119,\;230{,}5468,\;-325{,}4463,\;142{,}5846\bigr)^{t}.
Observação final (didática e encorajamento): as iterações estão crescendo em magnitude — isto mostra que, com o esquema e arredondamento adotados, a sequência tende a divergir (confirmando a advertência sobre falta de dominância diagonal). Isso é uma informação útil para a prova: sempre verifique dominância diagonal se for usar métodos iterativos. Mesmo assim, os passos acima mostram exatamente como aplicar Gauss–Seidel e como computar os seis primeiros vetores solicitados.

Resposta

S_{x}^{(1)} = \bigl(-8{,}2333,\;6{,}4158,\;-6{,}6953,\;2{,}7599\bigr)^{t}
S_{x}^{(2)} = \bigl(-17{,}6331,\;12{,}3298,\;-15{,}7397,\;6{,}9158\bigr)^{t}
S_{x}^{(3)} = \bigl(-36{,}4852,\;25{,}3078,\;-34{,}6293,\;15{,}1725\bigr)^{t}
S_{x}^{(4)} = \bigl(-76{,}1920,\;52{,}6277,\;-73{,}6322,\;32{,}2633\bigr)^{t}
S_{x}^{(5)} = \bigl(-159{,}5120,\;110{,}0414,\;-155{,}0306,\;67{,}9259\bigr)^{t}
S_{x}^{(6)} = \bigl(-334{,}3119,\;230{,}5468,\;-325{,}4463,\;142{,}5846\bigr)^{t}

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