1^{\underline{0}} Questão (0,8 PONTO): Resolver o sistema de equações utilizando a técnica eliminação de Gauss, admitindo 4 casas decimais nos resultados.
O que o enunciado pede:
A.1) Mostrar a metodologia da técnica pedida (remoção/iteração indicada no enunciado).
A.2) Calcular seis soluções iteradas S_{x}^{(1)},\dots,S_{x}^{(6)}.
Observação importante (não pede decisão, apenas informação): o enunciado menciona “eliminação de Gauss” mas também apresenta notação x_i^{(k)} e um palpite inicial S_x^{(0)}. Isso indica um procedimento iterativo (sequência de soluções), não a eliminação direta pura. Vou explicar e aplicar a técnica iterativa adequada ao contexto e justificarei a escolha no passo seguinte.]
Passo 2
Escolha do método e justificativa (por que usar Gauss–Seidel):
Há duas técnicas que começam por “Gauss”: (i) eliminação de Gauss (método direto para resolver o sistema de uma vez) e (ii) método iterativo de Gauss–Seidel. Como o enunciado pede explicitamente seis vetores S_x^{(1)},\dots,S_x^{(6)} e fornece um palpite inicial S_x^{(0)}, isso é típico de um método iterativo — portanto vou usar o método de Gauss–Seidel.
Breve motivo técnico: Gauss–Seidel atualiza cada componente usando os valores mais recentes disponíveis (o que costuma acelerar a convergência em relação ao método de Jacobi).
Aviso didático: para garantir convergência é desejável que a matriz do sistema seja estritamente diagonalmente dominante ou simétrica definida positiva; aqui a matriz não é estritamente diagonalmente dominante, então a iteração pode divergir — vamos ver isso nos números. Mesmo assim aplicamos o método porque o enunciado pede as iterações.
Nota sobre arredondamento: o enunciado pede “admitindo 4 casas decimais nos resultados”. Vou arredondar cada componente calculada para 4 casas decimais imediatamente após cada atualização e usar esse valor arredondado nas atualizações subsequentes (procedimento comum em exercícios práticos).
Passo 3
Formulação das equações de iteração Gauss–Seidel (isolando cada incógnita):
Partindo das equações originais, isolamos x_1,x_2,x_3,x_4 em forma de iteração:
Regra prática de Gauss–Seidel usada: para calcular x_i^{(k)} usa-se os valores já atualizados x_1^{(k)},x_2^{(k)},\dots,x_{i-1}^{(k)} e os valores antigos x_{i+1}^{(k-1)},\dots. E após calcular cada x_i^{(k)} arredondamos para 4 casas decimais e usamos esse valor nas fórmulas seguintes da mesma iteração.
Agora aplicamos as iterações passo a passo, mostrando as contas com os valores arredondados a 4 casas decimais após cada atualização.
Observação final (didática e encorajamento): as iterações estão crescendo em magnitude — isto mostra que, com o esquema e arredondamento adotados, a sequência tende a divergir (confirmando a advertência sobre falta de dominância diagonal). Isso é uma informação útil para a prova: sempre verifique dominância diagonal se for usar métodos iterativos. Mesmo assim, os passos acima mostram exatamente como aplicar Gauss–Seidel e como computar os seis primeiros vetores solicitados.