Questão 5 (1,5 ponto): Seja L: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{3} um operador linear tal que o plano \Pi de equação 3 x-9 y+5 z=0 é o autoespaço associado ao autovalor 7 . Sabendo que o autoespaço associado ao autovalor 12 é ortogonal ao plano II, determine L(4(1,2,3)+3(3,-9,5)).

Passo 1

O enunciado dá um operador linear L:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 com as seguintes propriedades:
– O plano \Pi de equação 3x-9y+5z=0 é o autoespaço de autovalor 7.
– O autoespaço de autovalor 12 é ortogonal a \Pi.
Queremos calcular
L\bigl(4(1,2,3)+3(3,-9,5)\bigr).

Passo 2

Identificamos o vetor normal a \Pi como
n=(3,-9,5).
Então \Pi é o subespaço ortogonal a n, e o autovalor 12 atua exatamente na linha gerada por n.

Passo 3

Chamemos
u=(1,2,3), \quad v=(3,-9,5).
Note que
n\cdot u =3\cdot1+(-9)\cdot2+5\cdot3 =3-18+15 =0,
logo u\in\Pi (é autovetor de valor 7), e v é autovetor de valor 12.

Passo 4

Pela linearidade de L e pelo fato de u ter autovalor 7 e v ter autovalor 12,
L\bigl(4u+3v\bigr) =4\,L(u)+3\,L(v) =4\cdot7\,u+3\cdot12\,v =28\,u+36\,v.

Passo 5

Substituindo u=(1,2,3) e v=(3,-9,5),
28\,u+36\,v =28(1,2,3)+36(3,-9,5).
Calculando coordenada a coordenada,
28(1,2,3)=(28,56,84), \quad 36(3,-9,5)=(108,-324,180),
então
L\bigl(4(1,2,3)+3(3,-9,5)\bigr) =(28+108,\;56-324,\;84+180) =(136,-268,264).

Resposta

(136,-268,264)

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