Questão 5 (1,5 ponto): Seja
um operador linear tal que o plano
de equação
é o autoespaço associado ao autovalor 7 . Sabendo que o autoespaço associado ao autovalor 12 é ortogonal ao plano II, determine
.
Passo 1
O enunciado dá um operador linear
com as seguintes propriedades:
– O plano de equação
é o autoespaço de autovalor
.
– O autoespaço de autovalor é ortogonal a
.
Queremos calcular
– O plano
– O autoespaço de autovalor
Queremos calcular
Passo 2
Identificamos o vetor normal a
como
Então
é o subespaço ortogonal a
, e o autovalor
atua exatamente na linha gerada por
.
Passo 3
Chamemos
Note que
logo
(é autovetor de valor
), e
é autovetor de valor
.
Passo 4
Pela linearidade de
e pelo fato de
ter autovalor
e
ter autovalor
,
Passo 5
Substituindo
e
,
Calculando coordenada a coordenada,
então