Sendo A=\left(\begin{array}{cc}1 & 3 \\\\ 2 & -1\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 0 & -4 \\\\ 3 & -2 & 6\end{array}\right). Determine A B e B A se possível.

Passo 1

O enunciado dá as matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}2 & 0 & -4 \\\\ 3 & -2 & 6\end{pmatrix}
e pede para determinar AB e BA se possível. O conteúdo é multiplicação de matrizes, que exige compatibilidade das dimensões internas.

Passo 2

Para multiplicar duas matrizes X e Y, o número de colunas de X deve ser igual ao número de linhas de Y.
  • A é 2\times2 e B é 2\times3. Logo, AB é possível e resulta em uma matriz 2\times3.
  • Para BA, B é 2\times3 e A é 2\times2; como 3\neq2, o produto BA não está definido.

Passo 3

Vamos calcular
AB = \begin{pmatrix}1 & 3 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2 & 0 & -4 \\\\ 3 & -2 & 6\end{pmatrix}.
O elemento da linha i, coluna j de AB é
(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{2} A_{ik}\,B_{kj}.
Fazendo as contas:
(AB)_{11} = 1\cdot 2 + 3\cdot 3 = 2 + 9 = 11,\quad (AB)_{12} = 1\cdot 0 + 3\cdot (-2) = -6,\quad (AB)_{13} = 1\cdot (-4) + 3\cdot 6 = -4 + 18 = 14,
(AB)_{21} = 2\cdot 2 + (-1)\cdot 3 = 4 - 3 = 1,\quad (AB)_{22} = 2\cdot 0 + (-1)\cdot (-2) = 2,\quad (AB)_{23} = 2\cdot (-4) + (-1)\cdot 6 = -8 - 6 = -14.

Resposta

AB = \begin{pmatrix}11 & -6 & 14 \\\\ 1 & 2 & -14\end{pmatrix},
e o produto BA não está definido.

Exercícios relacionados