Questão 2 (2 pontos)
Encontre a solução geral das EDOs abaixo.
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=3 e^{2 x}

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
y'' - 5y' + 6y = 3e^{2x}.
O conteúdo aqui é resolução de EDOs lineares: primeiro a gente encontra a solução geral da parte homogênea e depois acha uma solução particular para o termo não homogêneo.

Passo 2

Para a parte homogênea, montamos a equação característica
r^2 - 5r + 6 = 0
que tem raízes
r = 2 \quad\text{e}\quad r = 3.
Logo, a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}.

Passo 3

O termo não homogêneo é 3e^{2x} e e^{2x} já aparece na solução homogênea como raiz simples. Então a gente tenta uma solução particular multiplicando por x:
y_p = A x e^{2x}.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_p:
\begin{aligned} y_p &= A x e^{2x},\\\ y_p' &= A e^{2x}(1 + 2x),\\\ y_p'' &= A e^{2x}(4 + 4x). \end{aligned}
Substituindo na EDO:
\begin{aligned} y_p'' - 5y_p' + 6y_p &= A e^{2x}\bigl[(4 + 4x) - 5(1 + 2x) + 6x\bigr]\\\ &= A e^{2x}(-1). \end{aligned}
Para que isso seja igual a 3e^{2x}, precisamos de
-A = 3 \quad\Longrightarrow\quad A = -3.
Logo
y_p = -3x e^{2x}.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x} - 3x e^{2x}.

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