Questão 3 (3 pontos) 1,75
Resolva a equação diferencias dada (não use transformadas de Laplace)
3 y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}=0 ; y(0)=-1, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de terceira ordem
3\,y''' + 2\,y'' = 0
com condições iniciais
y(0) = -1,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=1.
O conteúdo é resolução de equação com coeficientes constantes usando a equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica trocando y\mapsto e^{r x}:
3\,r^3 + 2\,r^2 = 0
Fatorando,
r^2\,(3r+2)=0
Logo as raízes são
r=0\quad(\text{multiplicidade 2}),\quad r=-\tfrac{2}{3}.
Com isso, a solução geral é
y(x)=C_1 + C_2\,x + C_3\,e^{-\tfrac{2}{3}x}.

Passo 3

Calculamos as derivadas necessárias:
y'(x)=C_2 - \tfrac{2}{3}\,C_3\,e^{-\tfrac{2}{3}x}, \quad y''(x)=\tfrac{4}{9}\,C_3\,e^{-\tfrac{2}{3}x}.

Passo 4

Usamos as condições iniciais para determinar C_1,C_2,C_3.
De y''(0)=1:
y''(0)=\tfrac{4}{9}\,C_3 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_3 = \tfrac{9}{4}.
De y'(0)=0:
y'(0)=C_2 - \tfrac{2}{3}\,C_3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_2 = \tfrac{2}{3}\,C_3 = \tfrac{2}{3}\cdot\tfrac{9}{4} = \tfrac{3}{2}.
De y(0)=-1:
y(0)=C_1 + C_3 = -1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = -1 - \tfrac{9}{4} = -\tfrac{13}{4}.

Passo 5

Substituindo os constantes na solução geral, obtemos
y(x) = -\tfrac{13}{4} \;+\; \tfrac{3}{2}\,x \;+\; \tfrac{9}{4}\,e^{-\tfrac{2}{3}x}.

Resposta

y(x) = -\tfrac{13}{4} + \tfrac{3}{2}\,x + \tfrac{9}{4}\,e^{-\tfrac{2}{3}x}.

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