Questão 1. Verifique se cada séric abaixo é convergente ou divergente (justifique sua resposta).
(4 pontos) \quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt[2]{n+n^{5}}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{n+n^{5}}}
é convergente ou divergente. O conteúdo principal aqui é teste de convergência para séries de termos positivos, e vamos usar o teste de comparação (ou limite-comparação) com uma p-série.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo geral. Para todo n\ge1,
\sqrt{n+n^{5}} =\sqrt{n\,(1+n^{4})} =n^{1/2}\,\sqrt{1+n^{4}}.
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a_{n} =\frac{n}{\sqrt{n+n^{5}}} =\frac{n}{\,n^{1/2}\,\sqrt{1+n^{4}}\;} =\frac{n^{1/2}}{\sqrt{1+n^{4}}}.

Passo 3

Agora comparamos com a p-série \sum 1/n^{3/2}. Note que para n\ge1 temos
1+n^{4}\;\ge\;n^{4} \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{1+n^{4}}\;\ge\;n^{2}.
Portanto
a_{n} =\frac{n^{1/2}}{\sqrt{1+n^{4}}} \;\le\;\frac{n^{1/2}}{n^{2}} =\frac{1}{n^{3/2}}.

Passo 4

Sabemos que a p-série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{3/2}}
converge, pois tem expoente 3/2>1. Como 0\le a_{n}\le 1/n^{3/2} para todo n, pelo teste da comparação direta a série original também converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{\sqrt{n+n^{5}}} é convergente.

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