Questão 4. (7 pontos) Encontre a série de Maclaurin de f(x)=\cos x. Em seguida, mostre que tal série representa f(x), para todo x \in \mathbb{R}.

Boa prova!

Passo 1

O enunciado pede para obter a série de Maclaurin de f(x)=\cos x e, em seguida, mostrar que essa série representa a própria função para todo x\in\mathbb{R}. Vamos usar a definição de série de Taylor centrada em zero (Maclaurin) e o teorema do resto de Lagrange para concluir a igualdade.

Passo 2

Calculamos as derivadas de f e avaliamos em 0. Observe o ciclo:
f(x)=\cos x,\quad f'(x)=-\sin x,\quad f''(x)=-\cos x,\quad f'''(x)=\sin x,\quad f^{(4)}(x)=\cos x,\;\dots
Logo, para n\ge0:
f^{(n)}(0)= \begin{cases} (-1)^k, & n=2k,\\\\ 0, & n=2k+1. \end{cases}

Passo 3

Substituindo na fórmula de Maclaurin,
\cos x =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}\,x^{2k}.

Passo 4

Para verificar o raio de convergência, aplicamos o critério da razão a a_k=\tfrac{(-1)^k}{(2k)!}\,x^{2k}:
\lim_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right| =\lim_{k\to\infty}\frac{|x|^{2}}{(2k+2)(2k+1)} =0.
Como o limite é 0<1 para todo x, o raio de convergência é infinito e a série converge para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Para garantir que a soma da série é exatamente \cos x, usamos o resto de Lagrange na forma
R_{N}(x) =\frac{f^{(N+1)}(\xi)}{(N+1)!}\,x^{N+1} \quad\text{para algum }\xi\text{ entre }0\text{ e }x.
Como |f^{(N+1)}(\xi)|\le1, segue
|R_{N}(x)|\le\frac{|x|^{N+1}}{(N+1)!},
e esse majorante tende a zero quando N\to\infty. Portanto, o resto desaparece e a série representa \cos x.

Resposta

\cos x =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k)!}\,x^{2k},
e essa igualdade vale para todo x\in\mathbb{R}.

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