Questão 3. (2,5 pontos) Ache os pontos críticos da função
f(x, y)=x^3-12 x y+8 y^3
e determine quais deles são pontos de mímimo local, máximo local e pontos de sela.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de matemática juntos! O problema pede para encontrar os pontos críticos da função f(x, y) = x^3 - 12xy + 8y^3 e determinar se esses pontos são mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a matriz hessiana para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a x e y . As derivadas parciais nos ajudam a identificar onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde estão os pontos críticos.
Vamos calcular:
fx = partial fpartial x = 3x^2 - 12y
fy = partial fpartial y = -12x + 24y^2

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações:
3x^2 - 12y = 0 (1)
-12x + 24y^2 = 0 (2)
Vamos simplificar essas equações:
Da equação (1):
3x^2 = 12y implies x^2 = 4y implies y = x^24
Agora, substituímos y = x^24 na equação (2):
-12x + 24(x^24)^2 = 0
Calculando:
-12x + 24(x^416) = 0
-12x + 24x^416 = 0 implies -12x + 3x^42 = 0
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
-24x + 3x^4 = 0 implies 3x^4 - 24x = 0
Fatorando:
3x(x^3 - 8) = 0
Então, x = 0 ou x^3 - 8 = 0 implies x = 2
Agora, encontramos os valores de y :
Para x = 0 :
y = 0^24 = 0
Para x = 2 :
y = 2^24 = 44 = 1
Portanto, os pontos críticos são (0, 0) e (2, 1) .

Passo 4

Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando a matriz hessiana. A matriz hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais da função e nos ajuda a determinar a natureza dos pontos críticos.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 6x
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 48y
fxy = partial^2 fpartial x partial y = -12
A matriz hessiana H é então:
H = fxx & fxy fxy & fyy = 6x & -12 -12 & 48y
Para classificar os pontos, calculamos o determinante da hessiana D = fxxfyy - (fxy)^2 .
  • Se D > 0 e fxx > 0 , temos um mínimo local.
  • Se D > 0 e fxx < 0 , temos um máximo local.
  • Se D < 0 , temos um ponto de sela.
  • Se D = 0 , o teste é inconclusivo.

Passo 5

Vamos aplicar isso aos nossos pontos críticos.
Para o ponto (0, 0) :
Calculamos as segundas derivadas:
fxx(0,0) = 6(0) = 0
fyy(0,0) = 48(0) = 0
fxy(0,0) = -12
Determinante:
D = (0)(0) - (-12)^2 = 0 - 144 = -144
Como D < 0 , (0, 0) é um ponto de sela.
Para o ponto (2, 1) :
Calculamos as segundas derivadas:
fxx(2,1) = 6(2) = 12
fyy(2,1) = 48(1) = 48
fxy(2,1) = -12
Determinante:
D = (12)(48) - (-12)^2 = 576 - 144 = 432
Como D > 0 e fxx = 12 > 0 , o ponto (2, 1) é um mínimo local.

Resposta

Os pontos críticos da função são (0, 0) , que é um ponto de sela, e (2, 1) , que é um ponto de mínimo local.

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