Questão 3. (2,5 pontos) Ache os pontos críticos da função
e determine quais deles são pontos de mímimo local, máximo local e pontos de sela.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de matemática juntos! O problema pede para encontrar os pontos críticos da função e determinar se esses pontos são mínimos locais, máximos locais ou pontos de sela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a matriz hessiana para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a identificar onde a inclinação da função é zero, ou seja, onde estão os pontos críticos.
Vamos calcular:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero e resolvemos o sistema de equações:
Vamos simplificar essas equações:
Da equação (1):
Agora, substituímos na equação (2):
Calculando:
Multiplicando tudo por 2 para eliminar o denominador:
Fatorando:
Então, ou
Agora, encontramos os valores de :
Para :
Para :
Portanto, os pontos críticos são e .
Passo 4
Agora, vamos classificar esses pontos críticos usando a matriz hessiana. A matriz hessiana é composta pelas segundas derivadas parciais da função e nos ajuda a determinar a natureza dos pontos críticos.
Primeiro, calculamos as segundas derivadas:
A matriz hessiana é então:
Para classificar os pontos, calculamos o determinante da hessiana D = fxxfyy - (fxy)^2 .
Se D > 0 e fxx > 0 , temos um mínimo local.
Se D > 0 e fxx < 0 , temos um máximo local.
Se D < 0 , temos um ponto de sela.
Se D = 0 , o teste é inconclusivo.
Passo 5
Vamos aplicar isso aos nossos pontos críticos.
Para o ponto (0, 0) :
Calculamos as segundas derivadas:
fxx(0,0) = 6(0) = 0
fyy(0,0) = 48(0) = 0
fxy(0,0) = -12
Determinante:
D = (0)(0) - (-12)^2 = 0 - 144 = -144
Como D < 0 , (0, 0) é um ponto de sela.
Para o ponto (2, 1) :
Calculamos as segundas derivadas:
fxx(2,1) = 6(2) = 12
fyy(2,1) = 48(1) = 48
fxy(2,1) = -12
Determinante:
D = (12)(48) - (-12)^2 = 576 - 144 = 432
Como D > 0 e fxx = 12 > 0 , o ponto (2, 1) é um mínimo local.
Resposta
Os pontos críticos da função são (0, 0) , que é um ponto de sela, e (2, 1) , que é um ponto de mínimo local.