Questão 1 (2,5 pontos). Considere a seguinte matriz
A5 times 5=[rrrrr -1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 2 & 0 -1 & 0 & 0 & -1 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 1 ]
a) Calcule o determinante da matriz A.
b) Usando o método de escalonamento (operações elementares), determine a inversa A^-1.

Passo 1

Vamos resolver a Questão 1, que envolve uma matriz A5 times 5 . Na parte a), precisamos calcular o determinante dessa matriz. Para isso, vamos usar as propriedades dos determinantes e métodos de cálculo como a expansão por cofatores ou a redução para uma matriz triangular.

Passo 2

Primeiro, observamos a matriz A :
A = -1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 2 & 0 -1 & 0 & 0 & -1 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 1
Para calcular o determinante, vamos aplicar operações que deixam a matriz em forma triangular, onde o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.

Passo 3

Vamos trocar a primeira linha com a quarta linha para facilitar os cálculos, pois isso elimina o -1 na posição (1,1):
-1 & 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 2 & 0 -1 & 0 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 1
Essa troca muda o sinal do determinante.

Passo 4

Agora, somamos a primeira linha à quarta linha para eliminar o -1 na posição (4,1):
-1 & 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & -1 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 1

Passo 5

Em seguida, subtraímos a primeira linha multiplicada por -1 da quinta linha para eliminar o 1 na posição (5,1):
-1 & 0 & 0 & -1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 & -1 & 0 0 & 1 & 0 & 1 & 1

Passo 6

Agora, calculamos o determinante dessa matriz triangular. Como fizemos uma troca de linhas, o determinante final será multiplicado por -1.
O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal:
det(A) = (-1) times 0 times 1 times (-1) times 1 = 0

Resposta

O determinante da matriz A é 0.

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