Questão 2: (9 pontos) Num jogo de aposta, temos 8 cartas, sendo 4 Ases e 4 Reis. Para participar o apostador deve casar 2 reais. São retiradas 4 cartas dessas oito, para cada Ás retirado o apostador recebe 1 real. O apostador têm o direito de escolher o modo de amostragem, com ou sem reposição.
© (3 pontos) Outra situação. Temos 80 cartas, sendo 40 Azes e 40 Reis. Ainda é selecionado 4 cartas, o apostador casa 2 reais e recebe 1 real por cada Ás selecionado. Nessa situação, o que ocorrerá com a probabilidade do apostador não ficar no prejuízo segundo cada modo de amostragem? Por que ?

Passo 1

Vamos resumir a questão: Temos um baralho com 80 cartas, sendo 40 Ases e 40 Reis. O apostador paga 2 reais para jogar e seleciona 4 cartas. Ele ganha 1 real para cada Ás que tirar. Queremos saber como a probabilidade de o apostador não perder dinheiro (ou seja, ganhar pelo menos 2 reais) se comporta quando as cartas são retiradas com ou sem reposição. Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, considerando as duas modalidades de amostragem.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa não perder dinheiro. O apostador paga 2 reais e quer pelo menos 2 reais de retorno. Como ele ganha 1 real por cada Ás, ele precisa tirar pelo menos 2 Ases nas 4 cartas para não ter prejuízo.
Agora, vamos calcular a probabilidade de tirar pelo menos 2 Ases nas duas situações:
Amostragem Sem Reposição
Aqui, as cartas retiradas não são colocadas de volta no baralho. Usamos combinações para calcular as probabilidades.
  • Número total de maneiras de escolher 4 cartas de 80: $ \binom{80}{4} $
  • Número de maneiras de escolher exatamente 2 Ases e 2 Reis: $ \binom{40}{2} \times \binom{40}{2} $
  • Número de maneiras de escolher exatamente 3 Ases e 1 Rei: $ \binom{40}{3} \times \binom{40}{1} $
  • Número de maneiras de escolher exatamente 4 Ases: $ \binom{40}{4} $
A probabilidade de tirar pelo menos 2 Ases é a soma das probabilidades de tirar 2, 3 ou 4 Ases:
binom804
Amostragem Com Reposição
Aqui, cada carta retirada é colocada de volta no baralho antes da próxima retirada. As seleções são independentes.
A probabilidade de tirar um Ás em uma única retirada é $ \frac{40}{80} = 0,5 $. Queremos a probabilidade de tirar pelo menos 2 Ases em 4 tentativas. Isso segue uma distribuição binomial:
binom402 times binom402 Á
Calculando cada termo:
binom403 times binom401
binom404 Á
Então,
P(>= 2 Ases) = binom402binom402 + binom403binom401 + binom404binom804

Resposta

A probabilidade de o apostador não ficar no prejuízo é maior quando a amostragem é com reposição. Especificamente, a probabilidade de tirar pelo menos 2 Ases é maior na amostragem com reposição do que sem reposição.

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