QUESTÃO 3 (2,0 Pontos). M_{1}, M_{2}, M_{3} e M_{4} são vetores do espaço vetorial M(2,2), formado pelas matrizes quadradas reais de ordem 2 . Represente o vetor M_{4} como uma combinação linear dos vetores M_{1}, M_{2} e M_{3}.
M_{1}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 2 & 0\end{array}\right] \quad M_{2}=\left[\begin{array}{ll}2 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right] \quad M_{3}=\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 1\end{array}\right] \quad M_{4}=\left[\begin{array}{ll}1 & 4 \\\\ 6 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado trabalha no espaço vetorial M(2,2) de matrizes reais 2\times2 e nos dá
M_{1}=\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 2 & 0\end{pmatrix},\; M_{2}=\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix},\; M_{3}=\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix},\; M_{4}=\begin{pmatrix}1 & 4\\\ 6 & 2\end{pmatrix}.
Queremos achar escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\,M_{1}+\beta\,M_{2}+\gamma\,M_{3}=M_{4}.

Passo 2

Vamos escrever a combinação linear e somar as matrizes:
\alpha\begin{pmatrix}1 & 0\\\ 2 & 0\end{pmatrix} +\beta\begin{pmatrix}2 & 0\\\ 0 & 1\end{pmatrix} +\gamma\begin{pmatrix}1 & 1\\\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha+2\beta+\gamma & \gamma\\\\ 2\alpha+\gamma & \beta+\gamma \end{pmatrix}.

Passo 3

Comparando cada entrada com M_{4}=\begin{pmatrix}1&4\\\ 6&2\end{pmatrix}, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha+2\beta+\gamma=1,\\\ \gamma=4,\\\\ 2\alpha+\gamma=6,\\\ \beta+\gamma=2. \end{cases}

Passo 4

Da segunda equação vem \gamma=4.
Substituindo em 2\alpha+\gamma=6
2\alpha+4=6\implies 2\alpha=2\implies \alpha=1.
Substituindo em \beta+\gamma=2
\beta+4=2\implies \beta=-2.
Verificando a primeira: 1+2(-2)+4=1-4+4=1, ok.

Passo 5

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M_{4}=1\cdot M_{1}+(-2)\cdot M_{2}+4\cdot M_{3}.

Resposta

M_{4}=M_{1}-2\,M_{2}+4\,M_{3}.

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