Questāo 2 (2,0 pontos)
Um bloco de massa m=0,50 \mathrm{~kg} está preso a uma mola ideal de constante elástica k= 200 \mathrm{~N} / \mathrm{m}, sobre uma superfície horizontal sem atrito. O bloco é puxado até uma distância A=8,0 \mathrm{~cm} da posição de equilíbrio e solto. Em determinado instante, o bloco está na posição x=3,0 \mathrm{~cm}, medida a partir da posição de equilíbrio.
Determine:
d) a velocidade do bloco quando x=3,0 \mathrm{~cm};

Passo 1

O enunciado pede: determinar a velocidade do bloco quando x=3,0\\ \mathrm{cm}.
Informações fornecidas (valores numéricos dados no enunciado e na figura; peguei m, k, A e x do enunciado/figura):
  • massa: m=0,50\\ \mathrm{kg};
  • constante elástica da mola: k=200\\ \mathrm{N/m};
  • amplitude (posição inicial máxima): A=8,0\\ \mathrm{cm};
  • posição em que queremos a velocidade: x=3,0\\ \mathrm{cm}.

Passo 2

Ideia física que vamos usar (explicação didática): como a superfície é sem atrito, não há forças não conservativas dissipando energia. Portanto, a energia mecânica total do sistema (energia cinética + energia potencial elástica) é constante durante o movimento. Vou explicar as energias envolvidas:
  • Energia cinética de um corpo em movimento: \displaystyle K=\tfrac{1}{2}m v^{2}, onde m é a massa e v a velocidade.
  • Energia potencial elástica da mola quando deformada em x: \displaystyle U=\tfrac{1}{2}k x^{2}, onde k é a constante elástica e x é a deformação (deslocamento em relação à posição de equilíbrio).
    No instante em que o bloco está na amplitude x=A (ponto de máxima elongação), a velocidade é zero, então toda a energia está na forma potencial: \displaystyle E_{\text{total}}=\tfrac{1}{2}kA^{2}. Em qualquer outra posição x, a energia total é \displaystyle E_{\text{total}}=\tfrac{1}{2}m v^{2}+\tfrac{1}{2}k x^{2}. Igualando as duas expressões temos a relação que permite achar v.

Passo 3

Escrevendo a conservação de energia entre a posição de amplitude A (onde v=0) e a posição genérica x:
\tfrac{1}{2}kA^{2}=\tfrac{1}{2}m v^{2}+\tfrac{1}{2}k x^{2}.
Isolando \tfrac{1}{2}m v^{2} e resolvendo para v:
\tfrac{1}{2}m v^{2}=\tfrac{1}{2}k\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr)
v=\sqrt{\frac{k}{m}\bigl(A^{2}-x^{2}\bigr)}.
Comentário rápido: a raiz dá a velocidade escalar (módulo da velocidade). O sinal + da raiz corresponde à velocidade positiva para o módulo; a direção real depende do sentido do movimento naquele instante, mas o enunciado pede a velocidade (normalmente entende-se o módulo).

Passo 4

Converter as unidades de comprimento para metros e calcular os termos quadráticos (estou usando os valores dados no enunciado/figura):
A=8,0\\ \mathrm{cm}=0,08\\ \mathrm{m},\qquad x=3,0\\ \mathrm{cm}=0,03\\ \mathrm{m}.
Calcular A^{2} e x^{2}:
A^{2}=(0,08)^{2}=0,0064\\ \mathrm{m^{2}}, \qquad x^{2}=(0,03)^{2}=0,0009\\ \mathrm{m^{2}}.
Diferença:
A^{2}-x^{2}=0,0064-0,0009=0,0055\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 5

Calcular o fator \dfrac{k}{m} e então v:
\frac{k}{m}=\frac{200}{0,50}=400\\ \mathrm{s^{-2}}.
Substituindo em v=\sqrt{\dfrac{k}{m}(A^{2}-x^{2})}:
v=\sqrt{400\times 0,0055}=\sqrt{2,2}=1,483239\ldots\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando de forma consistente com os dados (duas casas significativas nos dados principais), obtemos
v\approx1,48\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo: a velocidade do bloco em x=3,0\\ \mathrm{cm} é cerca de 1,48\\ \mathrm{m/s}. Isso faz sentido porque, estando mais próximo do equilíbrio do que da amplitude, parte da energia potencial já virou energia cinética — por isso a velocidade é significativa. Vai com calma na prova, aplica conservação de energia quando não há atrito e faz sempre a conversão de unidades!

Resposta

v=1,48\\ \mathrm{m/s}

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