QUESTÃO 3 (2,0 Pontos). Os pontos C(0,1,2), D e E(20,17,-6) são colineares, com D entre C e E. Calcule as coordenadas de D sabendo que a distância entre C e E é 4 vezes a distância entre C e D.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que os pontos
C,(0,1,2), D e E,(20,17,-6) são colineares, com D entre C e E, e ainda que
|CE| = 4,|CD|
Estamos trabalhando com Geometria Analítica no espaço, usando vetores e razão de divisão de segmento. Para resolver, vamos precisar do conceito de vetor que liga dois pontos, da representação paramétrica de um ponto colinear e da ideia de divisão de segmento na razão dada.

Passo 2

Como C, D e E são colineares, dá pra escrever D como um ponto entre C e E na forma
D = C + t,(E - C),
onde t é um escalar entre 0 e 1. Esse t indica “o quanto” do caminho de C até E a gente precisa andar pra chegar em D. Se t=0, D coincide com C; se t=1, D é E; e pra valores entre 0 e 1, D fica no meio.

Passo 3

A condição |CE| = 4,|CD| significa que a distância de C até E é quatro vezes a distância de C até D. Logo
|CD||CE| = 14
Mas tfrac|CD||CE| é justamente o parâmetro t. Então
t = tfrac14

Passo 4

Agora é só calcular:
  1. O vetor E - C:
E - C = (20 - 0,;17 - 1,;-6 - 2) = (20,;16,;-8)
  1. Multiplicar por t=tfrac14:
tfrac14,(20,16,-8) = (5,4,-2)
  1. Somar em C para achar D:
D = C + l(5,4,-2r) = (0,1,2) + (5,4,-2) = (5,5,0)

Resposta

As coordenadas de D são D(5,5,0).

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