Use algumas propriedades dos determinantes para mostrar que:
Passo 1
O enunciado nos pede para mostrar que o determinante da matriz
a+c & b+c & 2c a & b & c 1 & 1 & 1
é zero. Vamos usar operações elementares de linhas (que preservam o determinante) e o fato de que o determinante se anula se duas linhas são proporcionais.
Passo 2
Aplicamos a operação
R1 R1 - R2
que não altera o valor do determinante. A primeira linha passa a ser
(a+c)-a = c, (b+c)-b = c, 2c-c = c,
logo a matriz fica
c & c & c a & b & c 1 & 1 & 1 .
Passo 3
Repare que a primeira linha é
(c,c,c) = c,(1,1,1),
ou seja, é exatamente c vezes a terceira linha.
Passo 4
Como duas linhas são proporcionais, elas são linearmente dependentes e o determinante da matriz é zero.