QUESTÃO 4 (2,0 Pontos). Considerando os vetores R S=(2,1,0) e S T=(0,1,2), calcule a área do paralelogramo RSTU, determinado por estes dois vetores.

Passo 1

Opa! Então, a gente tem dois vetores em ℝ³:
RS=(2,1,0) e ST=(0,1,2).
A questão pede a área do paralelogramo RSTU formado por esses vetores.
Conteúdo envolvido: produto vetorial (ou “cross product”) e cálculo de módulo de vetor pra achar área.

Passo 2

Primeiro, a teoria do produto vetorial em ℝ³:
Se vec a=(a1,a2,a3) e vec b=(b1,b2,b3),
então
vec a times vec b = i & j & k a1 & a2 & a3 b1 & b2 & b3
Isso gera um vetor perpendicular aos dois originais, e o módulo |vec atimesvec b| é exatamente a área do paralelogramo que eles formam.

Passo 3

Vamos calcular RStimesST:
RStimesST = i & j & k 2 & 1 & 0 0 & 1 & 2 = i(1cdot2 - 0cdot1) - j(2cdot2 - 0cdot0) + k(2cdot1 - 1cdot0)
Calculando:
RStimesST = 2,i ;-;4,j ;+;2,k = (2,,-4,,2)

Passo 4

Agora a área é o módulo desse vetor:
|,(2,-4,2),| = raiz2^2 + (-4)^2 + 2^2 = raiz4 + 16 + 4 = raiz24 = 2raiz6

Resposta

A área do paralelogramo RSTU é 2raiz6.

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