Questão 2: ( 3,0 pontos) Em cada item abaixo, verifique se a transformação linear T dada é injetora, sobrejetora e isomorfismo. Se T for um isomorfismo, determine T^{-1}.
T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow P_{3}(\mathbb{R}), onde
\begin{gathered} T(1,0,1)=2+x^{2}+x^{3} \\\ T(0,1,0)=1+x^{2} \\\ T(0,0,1)=x^{2}-x^{3} \end{gathered}

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^3 \to P_3(\mathbb{R})
definida por
T(1,0,1)=2+x^2+x^3,\quad T(0,1,0)=1+x^2,\quad T(0,0,1)=x^2 - x^3.
Precisamos verificar se T é injetora, sobrejetora e isomorfismo. Se for isomorfismo, encontrar T^{-1}.

Passo 2

Para estudar injeção e sobrejeção, primeiro obtemos as imagens dos vetores da base canônica (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1). Como
T(1,0,1)=T(1,0,0)+T(0,0,1)=2+x^2+x^3,
segue que
T(1,0,0)=\bigl(2+x^2+x^3\bigr)-\bigl(x^2-x^3\bigr)=2+2x^3.
Portanto
T(1,0,0)=2+2x^3,\quad T(0,1,0)=1+x^2,\quad T(0,0,1)=x^2-x^3.

Passo 3

Analisamos a injetividade verificando se há combinação linear não trivial
a\,T(1,0,0)+b\,T(0,1,0)+c\,T(0,0,1)=0
no espaço P_3(\mathbb{R}). Isso equivale a
a(2+2x^3)+b(1+x^2)+c(x^2-x^3)\equiv 0.
Comparando coeficientes:
constante: 2a + b = 0, x^2: b + c = 0, x^3: 2a - c = 0.

Passo 4

Resolvendo
\begin{cases} 2a + b = 0,\\\ b + c = 0,\\\\ 2a - c = 0, \end{cases}
da segunda equação b=-c. Substituindo em 2a+b=0 b=-2a, logo -c=-2a e c=2a. A terceira equação fica 2a-2a=0, satisfeita para todo a.
Há, portanto, múltiplas soluções não triviais (a,b,c), o que mostra que \{T(1,0,0),T(0,1,0),T(0,0,1)\} é linearmente dependente.

Passo 5

Como as imagens de três vetores são dependentes, o posto de T é menor que 3. Logo
\dim(\ker T)=3-\operatorname{rank}(T)>0,
isto é, \ker T\neq\{0\} e T não é injetora. Além disso, \dim P_3(\mathbb{R})=4 e \operatorname{rank}(T)\le2<4, logo T não é sobrejetora.

Resposta

T não é injetora, não é sobrejetora e, portanto, não é isomorfismo.

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