Questão 4 (1,8 pontos) Em cada item faça o que se pede:
(1,0 pts) Seja A uma matriz quadrada de ordem n, A \in \mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}) tal que A^{2}=2 A+35 I. Mostre que se \lambda é um autovalor de A, então \lambda=-5 ou \lambda=7.

Passo 1

O enunciado dá uma matriz quadrada A\in\mathbb{M}_{n}(\mathbb{R}) satisfazendo
A^2 = 2A + 35I
e pede para mostrar que, se \lambda é um autovalor de A, então necessariamente \lambda=-5 ou \lambda=7. Vamos usar a propriedade de que, para um vetor próprio não nulo v associado a \lambda, vale Av=\lambda v e, portanto, A^2v=\lambda^2v.

Passo 2

Seja v\neq0 tal que
Av = \lambda v.
Aplicando A de novo em v, obtemos
A^2v = A(Av) = A(\lambda v) = \lambda (Av) = \lambda^2 v.
Por outro lado, da relação A^2 = 2A + 35I segue
A^2v = (2A + 35I)v = 2Av + 35v = 2\lambda v + 35v = (\,2\lambda + 35\,)v.
Comparando as duas expressões para A^2v, temos
\lambda^2 v = (2\lambda + 35)v \quad\Longrightarrow\quad (\lambda^2 - 2\lambda - 35)v = 0.
Como v\neq0, o fator escalar deve ser zero:
\lambda^2 - 2\lambda - 35 = 0.
Resolvendo a equação quadrática, factorizamos
\lambda^2 - 2\lambda - 35 = (\lambda + 5)(\lambda - 7) = 0,
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\lambda = -5 \quad\text{ou}\quad \lambda = 7.

Resposta

Os autovalores de A são \lambda=-5 ou \lambda=7.

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