Questão 4 (1,8 pontos) Em cada item faça o que se pede:
(1,0 pts) Seja
uma matriz quadrada de ordem
tal que
. Mostre que se
é um autovalor de
, então
ou
.
(1,0 pts) Seja
Passo 1
O enunciado dá uma matriz quadrada
satisfazendo
e pede para mostrar que, se
é um autovalor de
, então necessariamente
ou
. Vamos usar a propriedade de que, para um vetor próprio não nulo
associado a
, vale
e, portanto,
.
Passo 2
Seja
tal que
Aplicando
de novo em
, obtemos
Por outro lado, da relação
segue
Comparando as duas expressões para
, temos
Como
, o fator escalar deve ser zero:
Resolvendo a equação quadrática, factorizamos
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Resposta
Os autovalores de
são
ou
.