Questão 5 (2,4 pontos): Seja A=\left[\begin{array}{ll}30 & 29 \\\\ 19 & 20\end{array}\right].
a) (1,2 pts) Determine os autovalores e bases de seus autoespaços.
b) ( 0,4 \mathrm{pt} ) Determine uma matriz inversível P e uma matriz diagonal D tais que A=P D P^{-1}.
c) ( 0,8 \mathrm{pt} ) Determine uma matriz B tal que A=B^{2}. Uma matriz B com esta propriedade é chamada raiz quadrada de A. Dica: Tome B=P \sqrt{D} P^{-1}
Passo 1
O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}30 & 29 \\[6pt] 19 & 20\end{pmatrix}
e pede: (a) autovalores e bases dos autoespaços, (b) diagonalização A = P\,D\,P^{-1}, (c) uma raiz quadrada B de A, usando a dica B = P\,\sqrt{D}\,P^{-1}.
Conteúdos necessários: polinômio característico, cálculo de autovetores, inversão de matriz 2\times2 e produto de matrizes.]
Passo 2
Calcular o polinômio característico de A. O traço de A é