Resolva as equações e inequações encontrando o intervalo de soluções:
|x^2-4 x-5| >=|x-1|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
l|x^2-4x-5r|>=|x-1|
Esse é um problema de desigualdade com valor absoluto. Para resolvê-lo, vamos:
1. Encontrar os pontos em que as expressões dentro dos valores absolutos mudam de sinal, isto é, resolver x^2-4x-5=0 e x-1=0.
2. Dividir a reta real em intervalos determinados por esses pontos.
3. Em cada intervalo, retirar os sinais de valor absoluto trocando por + ou – conforme o sinal da expressão, e resolver a desigualdade resultante.
4. Reunir as soluções obtidas nos vários intervalos.

Passo 2

As raízes de x^2-4x-5=0 são
x=4pmraiz16+202=4pm62implies x=-1 ou x=5,
e de x-1=0 vem x=1. Assim, vamos estudar a inequação em cada intervalo:
(-infty,-1),[-1,1),[1,5),[5,infty)

Passo 3

Intervalo (-infty,-1):
  • x^2-4x-5>0 e x-1<0.
    A inequação vira
x^2-4x-5>=1-x Long<=ftrightarrow x^2-3x-6>=0
As raízes de x^2-3x-6=0 são
x=3pmraiz9+242=3pmraiz332
O polinômio é >=0 para
x<=3-raiz332ou x>=3+raiz332
Dentro de (-infty,-1) só cabe
(-infty,;tfrac3-raiz332]

Passo 4

Intervalo [-1,1):
  • x^2-4x-5<0 e x-1<0.
    A inequação vira
-(x^2-4x-5)>=1-x Long<=ftrightarrow -x^2+5x+4>=0 Long<=ftrightarrow x^2-5x-4<=0
As raízes de x^2-5x-4=0 são
x=5pmraiz25+162=5pmraiz412
O polinômio é <=0 para
5-raiz412<= x<=5+raiz412
Intersectando com [-1,1)
l[tfrac5-raiz412,,1r)(tfrac5-raiz412approx-0,70)

Passo 5

Intervalo [1,5):
  • x^2-4x-5<0 e x-1>=0.
    A inequação vira
-(x^2-4x-5)>= x-1 Long<=ftrightarrow -x^2+3x+6>=0 Long<=ftrightarrow x^2-3x-6<=0
As raízes são tfrac3pmraiz332, e a solução é
3-raiz332<= x<=3+raiz332
Intersectando com [1,5)
[1,;tfrac3+raiz332](tfrac3+raiz332approx4,37)

Passo 6

Intervalo [5,infty):
  • x^2-4x-5>=0 e x-1>=0.
    A inequação vira
x^2-4x-5>= x-1 Long<=ftrightarrow x^2-5x-4>=0
As raízes são tfrac5pmraiz412, e a solução é
x<=5-raiz412ou x>=5+raiz412
Dentro de [5,infty) só cabe
l[tfrac5+raiz412,inftyr)

Resposta

Combinando tudo, a solução da inequação é
boxed (-infty,;tfrac3-raiz332] ;cup; l[tfrac5-raiz412,,tfrac3+raiz332r] ;cup; l[tfrac5+raiz412,inftyr)

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