Resolva as equações e inequações encontrando o intervalo de soluções:
|x^2-4 x-5| <= 1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valor absoluto
lvert x^2-4x-5rvert <= 1
O conteúdo é inequações quadráticas envolvendo valor absoluto. Vamos transformar em uma dupla desigualdade e resolver cada parte.

Passo 2

Usamos a definição de valor absoluto:
lvert Arvert <= 1 Long<=ftrightarrow -1 <= A <= 1
Aqui A = x^2-4x-5, logo
-1 <= x^2-4x-5 <= 1

Passo 3

Resolvemos a parte superior da dupla:
x^2-4x-5 <= 1 Long<=ftrightarrow x^2-4x-6 <= 0
Calculamos as raízes de x^2-4x-6=0:
x = 4pmraiz16+242 = 4pmraiz402 = 2pmraiz10
Como o coeficiente de x^2 é positivo, a parábola fica abaixo de zero entre as raízes. Logo
x^2-4x-6 <= 0 Long<=ftrightarrow xin [,2-raiz10,,2+raiz10,]

Passo 4

Resolvemos a parte inferior da dupla:
x^2-4x-5 >= -1 Long<=ftrightarrow x^2-4x-4 >= 0
As raízes de x^2-4x-4=0 são
x = 4pmraiz16+162 = 2pm 2raiz2
Novamente, coeficiente positivo indica que x^2-4x-4>=0 fora do intervalo entre as raízes, ou seja
xin (-infty,,2-2raiz2];cup;[,2+2raiz2,,infty)

Passo 5

A solução da inequação original é a interseção dos dois resultados:
[,2-raiz10,,2+raiz10,];cap;l((-infty,,2-2raiz2];cup;[,2+2raiz2,,infty)r)
Como 2-raiz10<2-2raiz2<2+2raiz2<2+raiz10, a interseção é
[,2-raiz10,,2-2raiz2];cup;[,2+2raiz2,,2+raiz10,]

Resposta

boxed[,2-raiz10,,2-2raiz2,];cup;[,2+2raiz2,,2+raiz10,]

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