Questão 2 (2 pontos). Determine o teste da segunda derivada para f(x)=x^4-8 x^2.

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da segunda derivada na função
f(x)=x^4-8x^2
ou seja, identificar os pontos críticos x tais que f'(x)=0 e usar o sinal de f''(x) nesses pontos para classificar máximos e mínimos.

Passo 2

Calculamos a primeira derivada de f. Como ddx(x^4)=4x^3 e ddx(8x^2)=16x, temos
f'(x)=4x^3-16x

Passo 3

Encontramos os pontos críticos resolvendo
f'(x)=4x^3-16x=0
Fatorando,
4x(x^2-4)=0
logo os pontos críticos são
x=0, x=pm2

Passo 4

Agora calculamos a segunda derivada. Derivando f'(x)=4x^3-16x obtemos
f''(x)=12x^2-16

Passo 5

Avaliamos f'' nos pontos críticos:
f''(0)=12cdot0^2-16=-16<0Rightarrowmáximo local em x=0, á
f''(2)=12cdot2^2-16=48-16=32>0Rightarrowmínimo local em x=2, í
f''(-2)=12cdot(-2)^2-16=48-16=32>0Rightarrowmínimo local em x=-2 í

Resposta

Máximo local em l(0,f(0)r)=(0,0).
Mínimos locais em l(2,f(2)r)=(2,-16) e l(-2,f(-2)r)=(-2,-16).

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