Questão 2 (6 pontos). Calcule, caso existir, os seguintes limites
ii) lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{|x|}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{|x|}.
O conteúdo envolvido é limite de função envolvendo valor absoluto e a função seno. Vamos usar a definição de |x| em duas regiões e a propriedade clássica \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1.

Passo 2

Para x>0 temos |x|=x. Nesse caso
\frac{\sin x}{|x|} \;=\;\frac{\sin x}{x}
e, como \lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{x}=1,
segue que \displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{|x|}=1.

Passo 3

Para x<0 temos |x|=-x. Então
\frac{\sin x}{|x|} \;=\;\frac{\sin x}{-\,x} \;=\;-\,\frac{\sin x}{x}
e, como \lim_{x\to0^-}\frac{\sin x}{x}=1,
segue que \displaystyle \lim_{x\to0^-}\frac{\sin x}{|x|}=-1.

Passo 4

Os limites laterais são diferentes \displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{|x|}=1\neq -1=\lim_{x\to0^-}\frac{\sin x}{|x|}.
Logo, o limite central não existe.

Resposta

O limite \displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{|x|} não existe.

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