Questão 2 (6 pontos). Calcule, caso existir, os seguintes limites
iii) lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\sin (\sin x))}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0}\frac{\sin\bigl(\sin(\sin x)\bigr)}{x}.
O conteúdo principal é limite de funções compostas e a conhecida equivalência \sin t\sim t quando t\to0.

Passo 2

Lembramos que, quando t\to0, vale
\frac{\sin t}{t}\to1,
ou seja, \sin t\sim t. Em particular, para x\to0 temos \sin x\to0, depois \sin(\sin x)\to0 e assim por diante.

Passo 3

Para aproveitar essa equivalência, escrevemos a expressão como produto de três razões:
\frac{\sin\bigl(\sin(\sin x)\bigr)}{x} =\frac{\sin\bigl(\sin(\sin x)\bigr)}{\sin(\sin x)} \;\cdot\; \frac{\sin(\sin x)}{\sin x} \;\cdot\; \frac{\sin x}{x}.

Passo 4

Agora basta analisar o limite de cada fator ao x\to0:
  1. Como \sin(\sin x)\to0, tem
\frac{\sin\bigl(\sin(\sin x)\bigr)}{\sin(\sin x)}\;\to\;1.
  1. Como \sin x\to0, tem
\frac{\sin(\sin x)}{\sin x}\;\to\;1.
  1. E por fim
\frac{\sin x}{x}\;\to\;1.
Multiplicando tudo, o limite geral é 1\cdot1\cdot1=1.

Resposta

1

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