Questão 2 (6 pontos). Calcule, caso existir, os seguintes limites
vi) (lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(1+\frac{1}{\ln x}\right)^{\ln x}).

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to0^{+}}\Bigl(1+\frac{1}{\ln x}\Bigr)^{\ln x}.
Este é um limite da forma (1+u(x))^{v(x)} e vamos usar a transformação y=(1+u)^{v} e estudar \ln y para depois voltar a y.

Passo 2

Defina
y = \Bigl(1+\frac{1}{\ln x}\Bigr)^{\ln x}.
Então, tomando logaritmo natural, temos
\ln y = \ln x \,\ln\Bigl(1+\frac{1}{\ln x}\Bigr).

Passo 3

Reescreva \ln y como uma razão que lembra o limite fundamental \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1. Note que u=\tfrac{1}{\ln x}\to0 quando x\to0^{+}. Assim,
\ln y = \ln x \,\ln\Bigl(1+\tfrac{1}{\ln x}\Bigr) = \frac{\ln\bigl(1+\tfrac{1}{\ln x}\bigr)}{\tfrac{1}{\ln x}}.

Passo 4

Agora aplicamos o limite
\lim_{x\to0^{+}}\ln y = \lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u} = 1.

Passo 5

Como \lim\ln y = 1, obtemos
\lim_{x\to0^{+}}y = \exp\bigl(\lim_{x\to0^{+}}\ln y\bigr) = e^{1} = e.

Resposta

e

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