Questão 3 (2 pontos). Para quais valores de
a função
pode ser prolongada com continuidade em todo
?
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede os valores de
para que ela possa ser prolongada em contínua em todo
. Vamos analisar o domínio imposto pelos logaritmos e ver quando ele é todo
ou, caso haja pontos faltantes, se é possível preenchê-los continuamente.
Passo 2
Para que
exista, é preciso, primeiro, que o argumento do log interno seja positivo:
Além disso, o argumento do log externo deve ser positivo:
Portanto o domínio natural de
é
Passo 3
Se quisermos que
já seja definida e contínua em todo
, precisamos que a condição
valha para todo
. Isso ocorre exatamente quando
Nesse caso, para qualquer
temos
logo
e
está bem definida e é contínua em todo
.
Passo 4
Para
, o domínio não é todo
:
– Se , exclui-se exatamente
, mas
– Se
não há como atribuir um valor finito em
para restabelecer continuidade.
– Se , o domínio é
, faltando todo um intervalo
, impossível de “preencher” de modo contínuo.
– Se
Resposta
A função pode ser prolongada com continuidade em todo
se, e somente se,