Questão 3 (2 pontos). Para quais valores de t \in \mathbb{R} a função
f(x)=\ln \left(\ln \left(x^{2}+t\right)\right)
pode ser prolongada com continuidade em todo \mathbb{R} ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\ln\bigl(\ln(x^{2}+t)\bigr)
e pede os valores de t\in\mathbb{R} para que ela possa ser prolongada em contínua em todo \mathbb{R}. Vamos analisar o domínio imposto pelos logaritmos e ver quando ele é todo \mathbb{R} ou, caso haja pontos faltantes, se é possível preenchê-los continuamente.

Passo 2

Para que f(x) exista, é preciso, primeiro, que o argumento do log interno seja positivo:
x^{2}+t>0.
Além disso, o argumento do log externo deve ser positivo:
\ln(x^{2}+t)>0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+t>1.
Portanto o domínio natural de f é
\{x\in\mathbb{R}\mid x^{2}>1-t\}.

Passo 3

Se quisermos que f já seja definida e contínua em todo \mathbb{R}, precisamos que a condição x^{2}>1-t valha para todo x. Isso ocorre exatamente quando
1-t<0 \quad\Longrightarrow\quad t>1.
Nesse caso, para qualquer x\in\mathbb{R} temos
x^{2}+t\ge t>1,
logo \ln(x^{2}+t)>0 e f está bem definida e é contínua em todo \mathbb{R}.

Passo 4

Para t\le1, o domínio não é todo \mathbb{R}:
– Se t=1, exclui-se exatamente x=0, mas
\lim_{x\to0}\ln\bigl(\ln(1+x^{2})\bigr)=\lim_{x\to0}\ln(x^{2})=-\infty,
não há como atribuir um valor finito em x=0 para restabelecer continuidade.
– Se t<1, o domínio é \{\,|x|>\sqrt{1-t}\}, faltando todo um intervalo [-\sqrt{1-t},\sqrt{1-t}], impossível de “preencher” de modo contínuo.

Resposta

A função pode ser prolongada com continuidade em todo \mathbb{R} se, e somente se, t>1.

Exercícios relacionados