Questão 4 (2 pontos). Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função limitada, ou seja, existe M \in \mathbb{R} tal que |f(x)|<M para todo x \in \mathbb{R}. Mostre que
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x+f(x))}{\ln x}=1

Passo 1

O enunciado diz que f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} é limitada, ou seja, existe M\in\mathbb{R} tal que \lvert f(x)\rvert < M para todo x. Queremos calcular
\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln\bigl(x+f(x)\bigr)}{\ln x}.
O conteúdo principal será usar propriedades de logaritmo e o fato de que f(x)/x\to0 quando x\to+\infty.

Passo 2

Aplicamos a identidade de logaritmo de produto escrevendo x+f(x)=x\bigl(1+f(x)/x\bigr). Assim,
\ln\bigl(x+f(x)\bigr) =\ln\Bigl[x\bigl(1+\tfrac{f(x)}{x}\bigr)\Bigr] =\ln x+\ln\!\Bigl(1+\tfrac{f(x)}{x}\Bigr).

Passo 3

Como f é limitada, \lvert f(x)\rvert < M implica
\Bigl\lvert \tfrac{f(x)}{x}\Bigr\rvert<\tfrac{M}{x},
e portanto \tfrac{f(x)}{x}\to0 quando x\to+\infty. Da continuidade do logaritmo segue
\ln\!\Bigl(1+\tfrac{f(x)}{x}\Bigr)\;\longrightarrow\;\ln(1+0)=0.

Passo 4

Escrevendo
\frac{\ln\bigl(x+f(x)\bigr)}{\ln x} =\frac{\ln x + \ln\!\bigl(1+f(x)/x\bigr)}{\ln x} =1+\frac{\ln\!\bigl(1+f(x)/x\bigr)}{\ln x},
basta mostrar que o segundo termo tende a zero. Para x grande, \lvert f(x)/x\rvert<1 e vale a desigualdade \lvert\ln(1+y)\rvert\le 2\lvert y\rvert quando \lvert y\rvert é pequeno. Logo, para x grande,
\biggl\lvert\frac{\ln\!\bigl(1+f(x)/x\bigr)}{\ln x}\biggr\rvert \le \frac{2\,\lvert f(x)/x\rvert}{\ln x} \le \frac{2M}{x\,\ln x} \;\longrightarrow\;0.

Passo 5

Portanto
\frac{\ln\bigl(x+f(x)\bigr)}{\ln x} =1+\underbrace{\frac{\ln\!\bigl(1+f(x)/x\bigr)}{\ln x}}_{\to0} \;\longrightarrow\;1.

Resposta

1

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