Questão 4 (2 pontos). Seja f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} uma função limitada, ou seja, existe M \in \mathbb{R} tal que |f(x)|<M para todo x \in \mathbb{R}. Mostre que
O enunciado diz que f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R} é limitada, ou seja, existe M\in\mathbb{R} tal que \lvert f(x)\rvert < M para todo x. Queremos calcular
\frac{\ln\bigl(x+f(x)\bigr)}{\ln x} =\frac{\ln x + \ln\!\bigl(1+f(x)/x\bigr)}{\ln x} =1+\frac{\ln\!\bigl(1+f(x)/x\bigr)}{\ln x},
basta mostrar que o segundo termo tende a zero. Para x grande, \lvert f(x)/x\rvert<1 e vale a desigualdade \lvert\ln(1+y)\rvert\le 2\lvert y\rvert quando \lvert y\rvert é pequeno. Logo, para x grande,