Questão 4 (3,0 pontos) Determine o limite, se existir, ou mostre que não existe.
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{y x^{4}}{x^{4}+y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{y\,x^{4}}{x^{4}+y^{4}}.
Este é um limite de função de duas variáveis. Vamos usar a substituição t=y/x (quando x\neq0) para reescrever a expressão e depois estimar seu valor absoluto para mostrar que o limite existe e é igual a zero.

Passo 2

Para (x,y)\neq(0,0) com x\neq0, defina
t = \frac{y}{x}, \quad\text{isto é,}\quad y = t\,x.é
Substituindo em f(x,y)=\frac{y\,x^4}{x^4+y^4}, obtemos
f(x,y) = \frac{(t\,x)\,x^4}{x^4 + (t\,x)^4} = \frac{t\,x^5}{x^4(1+t^4)} = \frac{t}{1+t^4}\,x.

Passo 3

Considere a função de uma variável
\varphi(t) = \frac{t}{1+t^4}.
Ela é limitada, pois
M = \max_{t\in\mathbb{R}} \bigl|\varphi(t)\bigr|
existe (por exemplo, pode-se derivar e encontrar M=3^{3/4}/4, mas basta saber que M<+\infty).
Então
\bigl|f(x,y)\bigr| = \bigl|\varphi(t)\bigr|\;\bigl|x\bigr| \le M\,|x|.

Passo 4

Quando (x,y)\to(0,0) temos em particular x\to0. Da desigualdade
\bigl|f(x,y)\bigr|\le M\,|x|
segue que f(x,y)\to0. Portanto, o limite existe e vale zero.

Resposta

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