QUESTÃO 5 (2,0 Pontos). Calcule as coordenadas do ponto de interseção das retas e , e a medida do ângulo formado entre elas. s:ly=2 x z=x-3
Passo 1
Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos duas retas no espaço 3D,
h dada por x=3+t,;y=1-3t,;z=t
e s dada por y=2x,;z=x-3.
Precisamos achar dois troços:
O ponto P onde elas se cruzam.
O ângulo theta formado entre elas.
Matéria: geometria analítica em 3D.
Vamos precisar de:
Parametrizar a reta s (meter um parâmetro, tipo u).
Igualar coordenadas de h e s pra achar os parâmetros e, assim, o ponto de interseção.
Pegar os vetores diretores de cada reta, usar produto escalar e normas pra achar o cosseno do ângulo vh!cdot!vs =|vh||vs|costheta.
Passo 2
Parametrizando s. Como s satisfaz [y=2x) e , podemos escrever
Agora temos h em função de . Para achar a interseção, igualamos:
: ,
: ,
: .
Passo 3
Resolver o sistema. Da equação (3) vem
u = t + 3
Substituindo em (1) dá 3+t = t+3, que é sempre verdade (não gera informação nova). Substituindo em (2):