QUESTÃO 5 (2,0 Pontos). Calcule as coordenadas do ponto P de interseção das retas h e s, e a medida do ângulo theta formado entre elas.
h:lx=3+t y=1-3 t z=t
s:ly=2 x z=x-3

Passo 1

Beleza, vamos lá. O enunciado diz que temos duas retas no espaço 3D,
h dada por
x=3+t,;y=1-3t,;z=t
e s dada por
y=2x,;z=x-3.
Precisamos achar dois troços:
  1. O ponto P onde elas se cruzam.
  2. O ângulo theta formado entre elas.
Matéria: geometria analítica em 3D.
Vamos precisar de:
  • Parametrizar a reta s (meter um parâmetro, tipo u).
  • Igualar coordenadas de h e s pra achar os parâmetros e, assim, o ponto de interseção.
  • Pegar os vetores diretores de cada reta, usar produto escalar e normas pra achar o cosseno do ângulo
    vh!cdot!vs =|vh||vs|costheta.

Passo 2

Parametrizando s. Como s satisfaz [y=2x) e , podemos escrever
Agora temos h em função de . Para achar a interseção, igualamos:
  1. : ,
  2. : ,
  3. : .

Passo 3

Resolver o sistema. Da equação (3) vem
u = t + 3
Substituindo em (1) dá 3+t = t+3, que é sempre verdade (não gera informação nova). Substituindo em (2):
1 - 3t = 2,(t+3) ;Longrightarrow; 1 - 3t = 2t + 6 ;Longrightarrow; 1 - 6 = 5t ;Longrightarrow; t = -1
Logo u = t+3 = -1+3 = 2.
Então o ponto de interseção P fica (usando h):
P=l(x,y,zr) =l(3+(-1),,1-3(-1),,(-1)r) =(2,,4,,-1)

Passo 4

Agora o ângulo. Primeiro, os vetores diretores:
  • Para h, o coeficiente de t em (x,y,z) é vh=(1,,-3,,1).
  • Para s, o coeficiente de u em (x,y,z) é vs=(1,,2,,1).
Produto escalar e normas:
vhcdotvs =1cdot1 + (-3)cdot2 + 1cdot1 =1 -6 +1 = -4,
|vh| = raiz1^2+(-3)^2+1^2 = raiz11, |vs| = raiz1^2+2^2+1^2 = raiz6

Passo 5

O cosseno do ângulo entre elas é
costheta =l|vhcdotvsr| |vh|;|vs| =|-4|raiz11,raiz6 =4raiz66
theta = arccos!gl(4raiz66gr) approx 60,6^circ

Resposta

Ponto de interseção: P=(2,4,-1)
Ângulo entre as retas: theta=arccos!l(tfrac4raiz66r)approx 60,6^circ.

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