Questão 1 ( 3 pontos) Calcule as derivadas parciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função $ V = \ln(x + 2y^{2} + z^{3}) $ e precisamos encontrar a derivada parcial de terceira ordem, ou seja, $ \frac{\partial^{3} V}{\partial x \partial y \partial z} $. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação de funções logarítmicas e como calcular derivadas parciais passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de $ V $ em relação a $ x $. A função é:
A derivada da função logarítmica $ \ln(u) $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{u} $. Aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial, derivando o resultado anterior em relação a $ y $:
Usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de $ \frac{1}{u} $ em relação a $ u $ é $ -\frac{1}{u^{2}} $. Então:
Passo 4
Finalmente, vamos calcular a terceira derivada parcial, derivando o resultado anterior em relação a $ z $:
Aplicando a regra da cadeia novamente:
Resposta
A derivada parcial de terceira ordem é: