Questão 1 ( 3 pontos) Calcule as derivadas parciais:
V=ln (x+2 y^2+z^3) ; partial^3 Vpartial x partial y partial z ; R=24 y z^2(x+2 y^2+z^3)^-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma função $ V = \ln(x + 2y^{2} + z^{3}) $ e precisamos encontrar a derivada parcial de terceira ordem, ou seja, $ \frac{\partial^{3} V}{\partial x \partial y \partial z} $. Para isso, vamos precisar conhecer as regras de derivação de funções logarítmicas e como calcular derivadas parciais passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a primeira derivada parcial de $ V $ em relação a $ x $. A função é:
V
A derivada da função logarítmica $ \ln(u) $ em relação a $ u $ é $ \frac{1}{u} $. Aplicando a regra da cadeia:
x

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial, derivando o resultado anterior em relação a $ y $:
y
Usamos novamente a regra da cadeia. A derivada de $ \frac{1}{u} $ em relação a $ u $ é $ -\frac{1}{u^{2}} $. Então:
partial^2 Vpartial y partial x = partialpartial y ( 1x + 2y^2 + z^3 )

Passo 4

Finalmente, vamos calcular a terceira derivada parcial, derivando o resultado anterior em relação a $ z $:
z
Aplicando a regra da cadeia novamente:
partial^3 Vpartial z partial y partial x = partialpartial z ( -4y(x + 2y^2 + z^3)^2 )

Resposta

A derivada parcial de terceira ordem é:
partial^3 Vpartial x partial y partial z = 24yz^2(x + 2y^2 + z^3)^3

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