Questão 2 ( 3,0 pontos). Calcule as integrais abaixo:
\int \sqrt{x} \sin \left(7+x^{3 / 2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral
\int \sqrt{x}\,\sin\bigl(7 + x^{3/2}\bigr)\,dx.
Este tipo de integral é resolvido por substituição de variável (u-substituição).

Passo 2

Definimos
u = 7 + x^{3/2}.
Então
\frac{du}{dx} = \frac{3}{2}x^{1/2} \quad\Longrightarrow\quad x^{1/2}\,dx = \frac{2}{3}\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original, temos
\int \sqrt{x}\,\sin\bigl(7 + x^{3/2}\bigr)\,dx = \int \sin(u)\,\frac{2}{3}\,du = \frac{2}{3}\int \sin(u)\,du = -\frac{2}{3}\cos(u) + C.

Passo 4

Volta-se à variável x usando u=7+x^{3/2}, obtendo-se
-\frac{2}{3}\cos\bigl(7 + x^{3/2}\bigr) + C.

Resposta

-\frac{2}{3}\cos\bigl(7 + x^{3/2}\bigr) + C.

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