Questão 3 (2,0 pontos). Determine os pontos da curva y=2 x^{3}-\frac{3}{20} x^{5}+7 em que a reta tangente possui maior inclinação.

Passo 1

O enunciado pede os pontos da curva definida por
y = 2x^{3} - \frac{3}{20}x^{5} + 7
em que a reta tangente tem maior inclinação.
Este é um problema de derivadas: primeiro achamos a derivada y', depois determinamos onde ela atinge seu valor máximo.

Passo 2

Calculamos a derivada de primeira ordem y' usando a regra de potência em cada termo:
y' = \frac{d}{dx}\!\Bigl(2x^{3}\Bigr) \;-\;\frac{d}{dx}\!\Bigl(\tfrac{3}{20}x^{5}\Bigr)\;+\;\frac{d}{dx}(7) \;=\;6x^{2}\;-\;\frac{3}{20}\cdot 5x^{4}\;+\;0 \;=\;6x^{2}-\frac{3}{4}x^{4}.

Passo 3

Para maximizar y', investigamos seus extremos críticos, calculando a segunda derivada y'' e igualando a zero:
y'' = \frac{d}{dx}\!\Bigl(6x^{2}-\tfrac{3}{4}x^{4}\Bigr) =12x - 3x^{3} =3x\,(4 - x^{2}).
Portanto, y''=0 quando
3x\,(4 - x^{2}) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x=0,\quad x^{2}=4\;\Rightarrow\;x=\pm2.

Passo 4

Avaliamo y' nos pontos críticos para identificar o máximo:
y'(0)=0, \quad y'(2)=6\cdot2^{2}-\tfrac{3}{4}\cdot2^{4}=24-12=12, \quad y'(-2)=6\cdot(-2)^{2}-\tfrac{3}{4}\cdot(-2)^{4}=24-12=12.
Como y'\to -\infty quando |x|\to\infty, os valores y'(\pm2)=12 são máximos globais.

Passo 5

Calculamos as ordenadas correspondentes:
Para x=2,
y(2)=2\cdot2^{3}-\frac{3}{20}\cdot2^{5}+7 =16-\frac{96}{20}+7 =23-\frac{24}{5} =\frac{115-24}{5} =\frac{91}{5}.
Para x=-2,
y(-2)=2\cdot(-2)^{3}-\frac{3}{20}\cdot(-2)^{5}+7 =-16+\frac{96}{20}+7 =-9+\frac{24}{5} =\frac{-45+24}{5} =-\frac{21}{5}.

Resposta

(2,\tfrac{91}{5}) e \bigl(-2,-\tfrac{21}{5}\bigr) têm a reta tangente de maior inclinação.

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