Questão 2 ( 3,0 pontos). Calcule as integrais abaixo:
\int_{0}^{1} x \sqrt[3]{1+5 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} x \sqrt[3]{1+5 x^{2}} \,dx.
O conteúdo principal aqui é usar substituição para transformar a expressão em algo mais simples de integrar.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = 1 + 5x^{2},
temos
du = 10x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{10}.
Quando x=0, u=1; quando x=1, u=6. Logo
\int_{0}^{1} x(1+5x^{2})^{1/3}dx = \int_{1}^{6} \frac{u^{1/3}}{10}\,du.

Passo 3

Agora basta integrar em u:
\int u^{1/3}\,du = \frac{u^{4/3}}{4/3} = \frac{3}{4}\,u^{4/3}.
Portanto,
\int_{1}^{6} \frac{u^{1/3}}{10}\,du = \frac{1}{10}\,\frac{3}{4}\Bigl[u^{4/3}\Bigr]_{1}^{6} = \frac{3}{40}\bigl(6^{4/3}-1^{4/3}\bigr).

Resposta

\frac{3}{40}\bigl(6^{4/3}-1\bigr).

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