Questão 1 (1,5 pontos). Mostre que a função
se anula para um único
real.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que a função
se anula em exatamente um ponto real. Vamos usar duas ideias:
se anula em exatamente um ponto real. Vamos usar duas ideias:
- Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raiz.
- Monotonicidade via derivada para garantir unicidade.
Passo 2
Primeiro, observamos que
é contínua em
(soma de polinômio e exponencial) e calculamos valores em pontos simples:
Como
é contínua e
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
.
Passo 3
Agora, para mostrar que não há outra raiz, calculamos a derivada:
Aqui
para todo
,
e
. Logo
isto é,
é estritamente crescente. Uma função estritamente crescente só pode zerar uma vez.
Resposta
A função
tem exatamente uma raiz real.