Questão 1 (1,5 pontos). Mostre que a função f(x)=x^{5}+e^{x}+x se anula para um único x real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que a função f(x)=x^{5}+e^{x}+x
se anula em exatamente um ponto real. Vamos usar duas ideias:
  1. Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raiz.
  2. Monotonicidade via derivada para garantir unicidade.

Passo 2

Primeiro, observamos que f é contínua em \mathbb{R} (soma de polinômio e exponencial) e calculamos valores em pontos simples:
f(-1)=(-1)^{5}+e^{-1}+(-1)=-1+\frac{1}{e}-1=-2+\frac{1}{e}< -2+1= -1<0,
f(0)=0^{5}+e^{0}+0=1>0.
Como f é contínua e f(-1)<0<f(0), pelo Teorema do Valor Intermediário existe \xi\in(-1,0) tal que f(\xi)=0.

Passo 3

Agora, para mostrar que não há outra raiz, calculamos a derivada:
f'(x)=5x^{4}+e^{x}+1.
Aqui 5x^{4}\ge0 para todo x, e^{x}>0 e 1>0. Logo
f'(x)=5x^{4}+e^{x}+1>0\quad\forall x\in\mathbb{R},
isto é, f é estritamente crescente. Uma função estritamente crescente só pode zerar uma vez.

Resposta

A função f(x)=x^{5}+e^{x}+x tem exatamente uma raiz real.

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