QUESTÃO 4 (2,5 pontos): Calcule o que se pede:
F(x)=\int \operatorname{sen}^{7} x \cos ^{3} x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
F(x)=\int \sin^{7}x\;\cos^{3}x\;dx.
Estamos em “Integração de potências de seno e cosseno”. Para resolver, vamos usar a identidade \cos^{2}x=1-\sin^{2}x e depois fazer a substituição u=\sin x, pois aparece um fator \cos x\,dx que combina com du.

Passo 2

Separe um fator de \cos x e escreva \cos^{3}x=\cos^{2}x\cdot\cos x=(1-\sin^{2}x)\cos x. Assim
\sin^{7}x\;\cos^{3}x =\sin^{7}x\,(1-\sin^{2}x)\,\cos x.

Passo 3

Faça a substituição
u=\sin x \quad\Longrightarrow\quad du=\cos x\,dx.
Então a integral fica
\int \sin^{7}x\,(1-\sin^{2}x)\,\cos x\,dx =\int \bigl(u^{7}-u^{9}\bigr)\,du.

Passo 4

Integre em u:
\int \bigl(u^{7}-u^{9}\bigr)\,du =\frac{u^{8}}{8}-\frac{u^{10}}{10}+C.

Passo 5

Volte a x usando u=\sin x:
F(x) =\frac{\sin^{8}x}{8}-\frac{\sin^{10}x}{10}+C.

Resposta

F(x)=\frac{\sin^{8}x}{8}-\frac{\sin^{10}x}{10}+C.

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