QUESTÃO 4 (2,5 pontos): Calcule o que se pede:
I=\int_{0}^{1} \frac{5 x-3}{x^{2}-2 x-3} d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
I = \int_{0}^{1} \frac{5x - 3}{x^{2} - 2x - 3}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração de função racional por frações parciais.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o denominador
x^{2} - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1).
Em seguida, escrevemos a decomposição em frações parciais:
\frac{5x - 3}{(x - 3)(x + 1)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 1}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x - 3)(x + 1), obtemos
5x - 3 = A(x + 1) + B(x - 3) = (A + B)x + (A - 3B).
Igualando coeficientes:
A + B = 5, \quad A - 3B = -3.
Resolvendo, de A = 5 - B segue
5 - B - 3B = -3 \;\Rightarrow\; -4B = -8 \;\Rightarrow\; B = 2, \quad A = 5 - 2 = 3.

Passo 4

Reescrevendo a integral com as frações parciais:
I = \int_{0}^{1} \Bigl(\frac{3}{x - 3} + \frac{2}{x + 1}\Bigr)\,dx = 3 \int_{0}^{1} \frac{dx}{x - 3} + 2 \int_{0}^{1} \frac{dx}{x + 1}.
Sabemos que \displaystyle \int \frac{dx}{x - a} = \ln|x - a|. Logo,
I = 3 \bigl[\ln|x - 3|\bigr]_{0}^{1} + 2 \bigl[\ln|x + 1|\bigr]_{0}^{1}.

Passo 5

Agora avaliamos nos limites:
3\bigl(\ln|1 - 3| - \ln|0 - 3|\bigr) + 2\bigl(\ln|1 + 1| - \ln|0 + 1|\bigr).
Como \ln|1 - 3| = \ln 2, \ln|0 - 3| = \ln 3, \ln|1 + 1| = \ln 2 e \ln|0 + 1| = \ln 1 = 0, temos
I = 3(\ln 2 - \ln 3) + 2(\ln 2 - 0) = 3\ln 2 - 3\ln 3 + 2\ln 2 = 5\ln 2 - 3\ln 3.

Resposta

I = 5\ln 2 \;-\; 3\ln 3.

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