Questão:(2.0 pontos) Considere a função:
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Determine a taxa de variação da função g no ponto
na direção do vetor
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Determine a taxa de variação da função g no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo diferencial! A questão pede para a gente encontrar a taxa de variação da função $ g(x, y) = \frac{x y}{1 + x^{2} + y^{2}} $ no ponto $ P = (1, 9) $ na direção do vetor $ \mathbf{v} = 2i - j $. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função $ g $ nesse ponto e depois projetar esse gradiente na direção do vetor dado.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $ e a $ y $. O gradiente de $ g $, denotado por $ \nabla g $, é formado por essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando a derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $:
Passo 4
Agora, calculando a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais, vamos calcular o gradiente $ \nabla g $ no ponto $ P = (1, 9) $:
Passo 6
Simplificando os valores:
Passo 7
Agora, vamos normalizar o vetor $ \mathbf{v} = 2i - j $ para obter um vetor unitário na mesma direção:
Passo 8
Finalmente, a taxa de variação de $ g $ na direção do vetor $ \mathbf{v} $ é o produto escalar do gradiente de $ g $ com o vetor unitário $ \mathbf{u} $:
Resposta
A taxa de variação da função $ g $ no ponto $ P = (1, 9) $ na direção do vetor $ 2i - j $ é aproximadamente $ \frac{1327}{6889\sqrt{5}} $ ou cerca de 0,034.