Questão:(2.0 pontos) Considere a função: g(x, y)=x y1+x^2+y^2.
Determine a taxa de variação da função g no ponto P=(1,9) na direção do vetor 2 i-j.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo diferencial! A questão pede para a gente encontrar a taxa de variação da função $ g(x, y) = \frac{x y}{1 + x^{2} + y^{2}} $ no ponto $ P = (1, 9) $ na direção do vetor $ \mathbf{v} = 2i - j $. Para isso, vamos precisar calcular o gradiente da função $ g $ nesse ponto e depois projetar esse gradiente na direção do vetor dado.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $ e a $ y $. O gradiente de $ g $, denotado por $ \nabla g $, é formado por essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando a derivada parcial de $ g $ em relação a $ x $:
g

Passo 4

Agora, calculando a derivada parcial de $ g $ em relação a $ y $:
g

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais, vamos calcular o gradiente $ \nabla g $ no ponto $ P = (1, 9) $:
nabla g

Passo 6

Simplificando os valores:
nabla g(1, 9) = ( 7296889, -796889 )

Passo 7

Agora, vamos normalizar o vetor $ \mathbf{v} = 2i - j $ para obter um vetor unitário na mesma direção:
v = 2i - j
|v| = raiz2^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 = raiz5

Passo 8

Finalmente, a taxa de variação de $ g $ na direção do vetor $ \mathbf{v} $ é o produto escalar do gradiente de $ g $ com o vetor unitário $ \mathbf{u} $:
g

Resposta

A taxa de variação da função $ g $ no ponto $ P = (1, 9) $ na direção do vetor $ 2i - j $ é aproximadamente $ \frac{1327}{6889\sqrt{5}} $ ou cerca de 0,034.

Exercícios relacionados