Sejam f(u, v) e g(x, y) funções de duas variáveis que admitem derivadas parciais de primeira ordem. Se g(x, y)=f(raizx^3+ln (y)+1, cos (x)+raizy^2+3), partial fpartial u(1,3)=6 e partial fpartial v(1,3)=2, determine a equação do plano tangente a superfície z=g(x, y) no ponto (0,1,10).

Passo 1

O enunciado define duas funções de duas variáveis com derivadas parciais de primeira ordem e introduz a função composta
g(x,y)=fl(raizx^3+ln y+1,,cos x+raizy^2+3r)
Precisamos encontrar o plano tangente à superfície z=g(x,y) no ponto (x0,y0,z0)=(0,1,10). Para isso, vamos usar o teorema da derivada de função composta (regra da cadeia) e os valores
e

Passo 2

Definimos as funções auxiliares
u(x,y)=raizx^3+ln y+1,
v(x,y)=cos x+raizy^2+3
Em seguida calculamos as derivadas parciais necessárias:
ux=32x^1/2,
uy=1y,
vx=-sin x,
vy=yraizy^2+3

Passo 3

Avaliamo-as no ponto (x0,y0)=(0,1) e aplicamos a regra da cadeia:
ux(0,1)=0,
uy(0,1)=1,
vx(0,1)=0,
vy(0,1)=tfrac12,
gx(0,1)=fu(1,3),ux(0,1)+fv(1,3),vx(0,1)=6cdot0+2cdot0=0,
gy(0,1)=6cdot1+2cdottfrac12=6+1=7

Passo 4

O plano tangente à superfície z=g(x,y) em (0,1,10) fica dado por
z-z0=gx(x0,y0)(x-x0)+gy(x0,y0)(y-y0)
Substituindo x0=0, y0=1, z0=10, gx(0,1)=0 e gy(0,1)=7, obtemos:

Passo 5

z-10=0,(x-0)+7,(y-1)
z=7y+3

Resposta

z=7y+3

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